二次関数 数学Ⅰ

二次関数の最大値・最小値の頻出問題をマスターする方法を伝授します

二次関数最大値・最小値アイキャッチ

あなたは二次関数の応用問題で満点を取る自信はありますか?

二次関数の応用問題といえば、最大値と最小値を求める問題ですよね。

平方完成とか他の計算もできるのに、最大値と最小値を求める問題だけは苦手っていう人はかなりいます。

なぜ苦手な人が多いかというと「ややこしいから」です。

私自身も問題を初めて見たとき解ける気がしないと思いました。

ですが、パターン化させることで一気に苦手単元から得意単元に跳ね上がりました。

そこで今回は、二次関数の最大値、最小値の超頻出問題を網羅して解説していきます。

この記事の例題を解けるようになれば、二次関数の最大値、最小値の問題で困ることはなくなります。

実際に手を動かして解いていきましょう。

二次関数の最大値・最小値問題頻出パターン

頻出パターン

(1)定義域がない問題

(EX) \(y=3x^2-12x+13\)

(2)定義域がある問題

(EX) \(y=-2x^2+4x-5\)   (\(-1 \leq x \leq 2)\)

(3)グラフが移動する問題(関数中に変数がある)

(EX) \(y=x^2-2(a+2)x+3\)   \((2 \leq x \leq 6)\)

(4)定義域が移動する問題(定義域に変数がある)

(EX) \(y=x^2-2x+4\)   \((a-2 \leq x \leq a+2)\)

この4つのパターンが1番よく見かける問題です。

もちろん、上記の4つ以外の問題が出題されても考え方はほぼ同じなので、違う問題にも活かせることができます。

では、簡単に解き方を説明しましょう。

3つの作業をするだけで答えを導くことができます。

3つの手順

1:平方完成をする。

2:グラフを描く。

3:条件を確認し、場合分けをする。

この3つの手順を順番に行うだけで答えを求められます。

特に重要なのが2番のグラフを描くことです。

グラフは絶対に描いてください。

グラフを描くと問題を可視化できるので、場合分けの見落としなどにも有効です。

つまり、グラフなしでは解くことができません。

なので、絶対にグラフを描いてくださいね。

場合分けができたら最大値・最小値を見つけて、そのときの \(x\) の値のときの \(y\) の値が求める答えとなります。

説明図

定義域が赤線の場合だと、求める最大値・最小値とそのときの \(x\) 座標はグラフのようになります。

ちなみに平方完成が苦手な人は、

二次関数の平方完成をマスターするための3つのSTEPを伝授します

という記事で解説しているので、平方完成をマスターさせたい方は先に ↑ の記事を見てください。

では、先程の頻出パターンの例題をもとにどうやって解くのかを解説していきます。

二次関数の最大値・最小値頻出例題

例題1:定義域がない問題

問題:\(y=3x^2-12x+13\) の最大値、最小値をそれぞれ求めよ。

先程説明した3つの手順通りに行っていきます。

解説

1.平方完成をします。

\begin{eqnarray}
y &=& 3x^2-12x+13 \\
&=& 3(x-2)^2+13-12 \\
&=& 3(x-2)^2+1
\end{eqnarray}

となりますね。

2.次にこの関数のグラフを描きましょう。

最大値最小値1

グラフを見ると、頂点が(2,1)となっていることがわかりますよね。

この問題では定義域が指定されていないので、範囲はグラフ全域となります。

よって、グラフより最小値は頂点と一致するので、

最大値:なし

最小値:1(\(x=2\))

ということになります。

これはもっとも簡単な最大値・最小値の問題ですね。

小問で出題されるレベルとなっています。

例題2:定義域がある問題

問題: \(y=-2x^2+4x-5\)   (\(-1 \leq x \leq 2)\) の最大値・最小値をそれぞれ求めよ。

これも同じく3つの手順で求めます。例題1との違いは定義域があるかないかですね。

解説

1.平方完成をする。

\begin{eqnarray}
y &=& -2x^2+4x-5 \\
&=& -2(x-1)^2-5+2 \\
&=& -2(x-1)^2-3
\end{eqnarray}

となります。

2.グラフを描く。

平方完成した結果をもとにグラフを描くと下図になります。

例題2

この問題では定義域が存在し、範囲は \(-1 \leq x \leq 2\) であるので、グラフの太赤線の部分となる。

また関数や定義域に変数が含まれていないので、手順3つめのの場合分けの必要もありません。

よって、グラフより最大値は頂点と一致し、最小値は \(x=-1\) のときの \(y\) の値なので、

最大値: \(-3\) \((x=1)\)

最小値: \(-11\) \((x=-1)\)

となります。

ちなみにこの問題では、 \(x\) の範囲がが両方とも \(\leq\) で囲まれていますが、もし \(-1 < x \leq  2\) の場合、最大値が存在しないことに注意してください。

例題3:グラフが移動する問題

問題: \(y=x^2-2(a+2)x+3\)   \((2 \leq x \leq 6)\)

いよいよ変数 \(a\) が関数に入ってくる問題です。この関数は定義域の値が決まっているので、グラフが移動するパターンの問題になります。

しかし、問題を解く手順としては例題1、例題2と基本的に同じで、最後に場合分けがあるだけです。

では解説していきます。

解説

1.平方完成をする。

この関数を平方完成すると、

\begin{eqnarray}
y &=& x^2-2(a+2)x+3 \\
&=& \lbrace x-(a+2) \rbrace ^2+3-(a+2)^2 \\
&=& \lbrace x-(a+2) \rbrace ^2-a^2-4a-1
\end{eqnarray}

となり、この関数の頂点は、 \(( a+2 \  ,  -a^2-4a-1 )\) となります。

この頂点の形を見るとわかりますが、頂点に変数が入っているので頂点が動きます。すなわちグラフが移動することになります。

今から場合分けをしていくわけですが、注目するポイントは頂点の \(x\) 座標です。

定義域が \(x\) の範囲であるので、場合分けも \(x\) 座標を基準として行わなければなりません。

では最小値から求めていきましょう。ただし、2.「グラフを描く」と3.「場合分けをする」は同時に行っていきます。

\(\\\)

(ⅰ)\(a+2 < 2\) のとき

\(a+2 < 2\) のとき、すなわち、 \(a < 0\) のとき、グラフを描くと下図のようになります。

例題3-1 min

定義域により赤線と赤線の間しか条件を満たしません。

よってグラフから、このときの最小値は \(x=2\) のときの \(-4a-1\) となります。

\(\\\)

(ⅱ)\(2 \leq a+2 \leq 6\) のとき

\(2 \leq a+2 \leq 6\) のとき、すなわち、 \(0 \leq a \leq 3\) のとき、グラフを描くと下図のようになります。

例題3-2 min

定義域があるので赤線と赤線の間しか条件を満たしません。

よってグラフより、最小値は \(x=a+2\) のときの \(-a^2-4a-1\) となります。

\(\\\)

(ⅲ)\(a+2 > 6\) のとき

\(a+2 > 6\) のとき、すなわち、\(a > 4\) のとき、グラフを描くと下図のようになる。

例題3-3 min

定義域があるので赤線と赤線の間しか条件を満たしません。

よってグラフより、 最小値は \(x=6\) のときの \(-12a+15\) となります。

\(\\\)

次に最大値を求めます。

(ⅰ)\(a+2 < 4\) のとき

\(a+2 < 4\) のとき、すなわち、\(a < 2\) のときを考えます。

急に 4 が出てきてこの 4 はなに? って思いますよね。

実をいうと、この 4 は定義域の中点を表しています。

なぜ中点が出てくるのかは、この後に出てくる 3 つのグラフを見てもらえればわかると思うので解説を続けます。

\(a < 2\) のときのグラフは下図のようになる。

例題3-1 max

このグラフを見ると、 \(x=2\) と \(x=4\) との間位に頂点が存在することがわかります。

このときの最大値はグラフより、\(x=6\) のときの \(-12a+15\) となります。

\(\\\)

(ⅱ)\(a+2=4\) のとき

\(a+2=4\) のとき、すなわち、\(a=2\) のとき、グラフを描くと下図のようになります。

例題3-2 max

このグラフを見ると、 \(x=4\) の点と頂点が一致していることがわかりますよね。

このときの最大値はグラフより、\(x=-2\  ,\ 6\) のときの \(-9\) となります。

\(\\\)

(ⅲ)\(a+2 > 4\) のとき

\(a+2 > 4\) のとき、すなわち、\(a > 2\) のとき、グラフを描くと下図のようになります。

例題3-3 max

このグラフを見ると、 \(x=4\) と \(x=6\) との間に頂点が存在することがわかります。

このとき最大値はグラフより、 \(x=2\) のときの \(4a-1\) となります。

以上より最小値と最大値を求めることができたので、最後にまとめると、

\[
最小値:
\begin{cases}
-4a-1 & (x=2) \\
-a^2-4a-1 & (x=a+2) \\
-12a+15 & (x=6) \\
\end{cases}
\]

\[
最大値:
\begin{cases}
-12a+15 & (x=6) \\
-9 & (x=2\ , \ 6) \\
-4a-1 & (x=2) \\
\end{cases}
\]

となります。

どうでしたか?

グラフが移動するパターンでもやっていることは基本的にどの問題でも同じです。

場合分けをするために自分で図を描いて考えるようにしましょう。

また、この問題の最大値を求めるときになぜ中点を用いるのかということを一応説明しておきます。

頂点が定義域の中に含まれているとき、 \((-2 \leq a+2 \leq 6)\) となりますよね。

最小値の場合だと頂点がグラフの一番下の点になるので、中点は考えなくてもいいのですが、

最大値の場合だと、頂点が中点よりも大きいのか、小さいのか、で最大値が変わってきますよね。

なので、中点を考える必要があります。

ちなみにこの問題だと中点は頭の中で 4 とすぐに答えることができますが、

中点をなかなか見つけにくい場合もあると思うので、中点を求めるときの公式を書いておきます。

中点の座標

\((x_1\ ,\ y_1)\) と \((x_2\ ,\ y_2)\) の中点の座標は、

\((\frac{x_1+x_2}{2}\ ,\ \frac{y_1+y_2}{2})\) となる。

つまり、 \(x\) 座標同士の和を 2 で割った値が中点の \(x\) 座標となり、

\(y\) 座標同士の和を 2 で割った値が中点の \(y\) 座標となります。

よってこの問題での中点の \(x\) 座標は、\(\frac{2+6}{2}=4\) となり、 4 を求めることができましたね。

この公式は役に立つのでぜひ覚えておいてください。

例題4:定義域が移動する問題

問題:\(y=x^2-2x+4\) \(\ \) \((a-2 \leq x \leq a+2)\)

この問題では例題3と違って関数自体には変数が入っていませんが、定義域に変数が入っている問題です。

例題3ではグラフが移動する問題でしたが、例題4ではグラフは動かず、定義域が移動する問題となっています。

これも解き方は例題3と全く同じであり、グラフを描いて場合分けすることができれば超簡単です。

では解説していきましょう。

解説

1.平方完成をする。

この関数を平方完成すると、

\begin{eqnarray}
y &=& x^2-2x+4 \\
&=& (x-1)^2+4-1 \\
&=& (x-1)^2+3
\end{eqnarray}

となり、頂点の座標は\((1\ ,\ 3)\) であることがわかりますね。

次に例題3と同じように「2.グラフを描いて」、「3.場合分けをする」ことを同時に行っていきます。

まずは最小値から求めていきましょう。

\(\\\)

(ⅰ)\(a-2 > 1\) のとき

\(a-2 > 1\) のとき、すなわち、 \(a > 3\) のとき、グラフを描くと下図になります。

例題4-1 min

このグラフを見ると、頂点が定義域に含まれていないことがわかりますよね。

よってグラフより、最小値は \(x=a-2\) のときの \(a^2-6a+12\) になります。

\(\\\)

(ⅱ)\(a-2 \leq 1 \leq a+2\) のとき

\(a-2 \leq 1 \leq a+2\) のとき、すなわち、\(-1 leq a \leq 3\) のとき、グラフを描くと下図になります。

例題4-2 min

このグラフを見ると、頂点が定義域に含まれていることがわかります。

よってグラフより、最小値は \(x=1\) のときの 3 になります。

\(\\\)

(ⅲ)\(a+2 < 1\) のとき

\(a+2 < 1\) のとき、すなわち、\(a < -1\) のとき、グラフを描くと下図になります。

例題4-3 min

このグラフを見ると、頂点が定義域の外にあることがわかります。

よってグラフより、最小値は \(x=a+2\) のときの \(a^2+2a+4\) となります。

次に最大値を求めます。

まず定義域の中点を求めましょう。

先程説明した公式を用いると、中点の \(x\) 座標は \(\frac{(a-2)+(a+2)}{2}=a\) となります。

\(\\\)

(ⅰ)\(a-2 < 1< a\) のとき

\(a-2 < 1 < a\) のとき、すなわち、 \(1 < a < 3\) のとき、グラフを描くと下図のようになります。

例題4-1 max

このグラフを見ると、頂点が中点よりも左側にあることがわかります。

よってグラフより、最大値は \(x=a+2\) のときの \(a^2+2a+4\) となります。

\(\\\)

(ⅱ)\(a=1\) のとき

\(a=1\) のとき、グラフを描くと下図のようになります。

例題4-2 max

このグラフを見ると、中点と頂点が一致していることがわかります。

よってグラフより、最大値は \(x=a-2\ ,\ a+2\) のとき、すなわち、

\(x=-1\ ,\ 3\) のときの \(7\) となります。

\(\\\)

(ⅲ)\(a < 1 < a+2\) のとき

\(a < 1 <a+2\) のとき、すなわち、\(-1 < a < 1\) のとき、グラフを描くと下図のようになります。

例題4-3 max

このグラフを見ると、頂点が中点よりも右側にあることがわかります。

よってグラフより、最大値は \(x=a-2\) のときの \(a^2-6a+12\) となります。

以上より最後に最小値と最大値をまとめると、

\[
最小値:
\begin{cases}
a^2-6a+12 & (x=a-2) \\
3 & (x=1) \\
a^2+2a+4 & (x=a+2) \\
\end{cases}
\]

\[
最大値:
\begin{cases}
a^2+2a+4 & (x=a+2) \\
7 & (x=-1\ ,\ 3) \\
a^2-6a+12 & (x=a-2) \\
\end{cases}
\]

となります。

これも例題3と同様に解けることがわかりましたね。

例題1~例題4の問題はどれも二次関数の最大値、最小値の頻出問題となっています。

これらの問題以外の問題が出題されたとしても基本的な考え方は同じです。

つまり、例題1~例題4の問題の解き方を理解することが成績アップに直結します。

まとめ

今回は二次関数の最大値・最小値超頻出問題の解説をしました。

どのパターンも同じ方法で解くことができるので、誰でも高得点を狙える単元となっています。

今回説明した内容をまとめると、

おさらい

1.平方完成をする。

2.グラフを描く。

3.場合分けをする。

4.中点を利用する。

1~3は解くための手順で、4は場合によっては中点を利用するということです。

解き方を意味もなく丸暗記するのではなく、自分で図を描いて、何のために場合分けをしているのか?

などを1つ1つ理解しながらやっていくことが成績アップの最短距離となります。

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