場合の数 数学A

【場合の数】「空間の色の塗り分け」問題の解き方をわかりやすく解説します

この記事でわかること

  • 「空間の色の塗り分け」の考え方のコツ
  • 「空間の色の塗り分け」の解き方

 

じゅじゅ
高校数学Aの場合の数では、「空間の色の塗り分け」問題が出題されます。
「空間の色の塗り分け」問題は、「平面の色の塗り分け」問題よりもややこしいですよね。

 

場合の数を得点源にしたい人は、「空間の色の塗り分け」の問題も解く必要があります。

でも、大丈夫です!

「空間の色の塗り分け」の問題を解くコツはあります。

そのコツさえ理解できれば、「空間の色の塗り分け」の問題はスラスラ解けるようになります。

そこでこの記事では、「空間の色の塗り分け」の問題の考え方のコツと解き方を例題をもとに解説していきます。

「場合の数」で点を取りたい人、「空間の色の塗り分け」問題を解けるようになりたい人はぜひ最後まで読んでみてください。

 

「空間の色の塗り分け」を解くコツ

じゅじゅ
ここでは、「空間の色の塗り分け」問題を解くコツについて解説していきます。

 

「空間の色の塗り分け」のコツ

  • 図を描く
  • 「円順列」で考える
  • 「じゅず順列」で考える
  • 回転させたり、ひっくり返したりする
  • 固定する

 

上のコツさえ掴めれば、「空間の色の塗り分け」の問題は簡単に解けます。

「空間の色の塗り分け」では、「円順列」と「じゅず順列」を使います。

「円順列」と「じゅず順列」を理解していない人は、必ず先に下の記事を読んでみてください。

 

「空間の色の塗り分け」の問題は、図を描いたあとに「円順列」もしくは「じゅず順列」の考え方で解いていけばすぐに解けます。

じゅじゅ
ここで説明した「空間の色の塗り分け」のコツを踏まえた上で、実際に例題をもとに「空間の色の塗り分け」問題の解き方をを解説していきます。

 

【例題から学ぶ】空間の色の塗り分け

じゅじゅ
ここでは、例題を使って「空間の色の塗り分け」の問題を解説していきます。

例題では、「立方体」「正四角錐」「正四面体」「正三角柱」の問題を用意しています。

解説を見てしっかりと理解してくださいね。

 

【立方体編】空間の色の塗り分けの例題

【例題】立方体の色の塗り分け

次のように立方体を色を使って塗り分ける方法は何通り? ただし、隣り合う面は異なる色で塗り、回転させて一致する塗り方は1通りとする。

\(\\\)

(1) 異なる6色をすべて使う

(2) 異なる5色をすべて使う

(3) 異なる4色をすべて使う

(4) 異なる3色をすべて使う

 

じゅじゅ
色の種類が1つずつ減っていく問題ですね。
では、順番に解説していきます。

 

【解説】立方体の色の塗り分け(1)

(1) 異なる6色をすべて使う

\(\\\)

立方体は、回転させると一致する場合があるので、下図のように底面を固定させて考えます。

\(\\\)

\(\\\)

上図のように、底面を固定させると、上面の色の塗り方は底面の色を除いた 5 通りあることになりますね。

次に側面を考えます。

今、底面を固定しているので、回転させても一致することはありません。

つまり、「4つの側面が円形に並んでいる」と考えれば良いことになります。

これは円順列を表しており、4つの側面の色の塗り方は、

\(\\\)

\begin{equation}
(4-1)!=3!=6\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

以上より、上面の 5 通りも含めて考えると、求める答えは、

\(\\\)

\begin{equation}
5\times6=30\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
次に、立方体の色の塗り分け (2) を解説していきます。

 

【解説】立方体の色の塗り分け(2)

(2) 異なる5色をすべて使う

\(\\\)

この問題も (1) と同様で底面を固定させて考えます。

(2) の問題では、立方体の6面に対して5色しか使えず、隣り合う面は異なる色にしなければならないので、向かい合う面の1組を同じ色にする必要がありますね。

すなわち、イメージとしては下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

上図のように底面と上面を同じ色にした場合を考えます。

底面と上面の色の選び方は 5 通りあることがわかりますね。

次に側面を考えますが、注意点が1つあります。

それは、底面と上面が同じ色なので、ひっくり返しても同じになることです。

つまり、ひっくり返すと一致するものが2組ずつあることとなります。

これは「じゅず順列」の考え方と全く同じですよね。

この考え方を踏まえると、側面の色の塗り方は、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{(4-1)!}{2}=3\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

よって、求める答えは、

\(\\\)

\begin{equation}
5\times3=15\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
次に、立方体の色の塗り分け (3) を解説していきます。

 

【解説】立方体の色の塗り分け(3)

(3) 異なる4色をすべて使う

\(\\\)

この問題では、立方体の6面に対して、4色しか使えないので、向かい合う面2組に2色塗る必要がありますね。

イメージは下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

上図では底面と上面が赤色で、左側面と右側面が緑色になっていますね。

では、まずこの向かい合う面2組の色の塗り方について考えていきます。

向かい合う面は全部で4組あり、そのうちの2組を選ぶので、2組の向かい合う面の選び方は、

\(\\\)

\begin{equation}
_4 \mathrm{C} _2=6\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

次に残っている2面の色の塗り方は、どちらの面もひっくり返すと同じになるので 1 通りということになります。

よって、求める答えは、

\(\\\)

\begin{equation}
6\times1=6\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

次に、立方体の色の塗り分け (4) を解説していきます。

 

【解説】立方体の色の塗り分け(4)

(4) 異なる3色をすべて使う

\(\\\)

この問題は、立方体6面に対して、3色しか使えないので、すべての向かい合う面で3色塗れば良いことになりますね。

イメージは下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

上図の場合だと、底面と上面は赤色、左側面と右側面は緑色、前側面と後側面はオレンジ色となっています。

上図を見ればわかりますが、ひっくり返しても、回転させても同じになるので、求める答えは、

\(\\\)

\begin{equation}
1\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
立方体は面が多いので、固定させたり回転させたりして考える必要があります。
しかし、図を描いて「円順列」や「じゅず順列」を用いればすぐに解けますね。

次は、正四角錐の色の塗り分けについて解説していきます。

 

【正四角錐編】空間の色の塗り分けの例題

【例題】正四角錐の色の塗り分け

次のように正四角錐を色を使って塗り分ける方法は何通り? ただし、隣り合う面は異なる色で塗り、回転させて一致するものは1通りとする。

\(\\\)

(1) 異なる5色を全て使う

(2) 異なる4色を全て使う

(3) 異なる3色を全て使う

 

じゅじゅ
では1つずつ順番に解説していきます。

 

【解説】正四角錐の色の塗り分け(1)

(1) 異なる5色を全て使う

\(\\\)

正四角錐の面は全部で5つありますが、回転させると一致するかもしれません。

そこで、底面を固定して考えてみましょう。

底面を固定して考えると、底面の色の塗り方は5通りとなりますね。

次に、側面について考えます。

底面を固定しているので、4つの側面が円形に並んでいるのと同じことになります。

イメージは下図ようになります。

\(\\\)

\(\\\)

よって、側面の色の塗り方は、

\(\\\)

\begin{equation}
(4-1)!=3!=6\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

以上より、求める答えは、

\(\\\)

\begin{equation}
5\times6=30\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
次に、正四角錐の色の塗り分け(2)を解説していきます。

 

【解説】正四角錐の色の塗り分け(2)

(2) 異なる4色を全て使う

\(\\\)

正四角錐の5つの面に対して、4色しか使えません。

また、隣り合う面は異なる色でなければならないので、向かい合う面1組が同じ色ということなりますね。

イメージは下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

上図では左側面と右側面が緑色で一致していますね。

つまり、1組の向かい合う2面の色の塗り方は、4色なので4通りあります。

また、底面を固定して考えると、底面の色の塗り方は3通りになります。

残っている側面は、正四角錐を回転させると一致するので、1通りになります。

以上より、求める答えは、

\(\\\)

\begin{equation}
4\times3\times1=12\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
次に、正四角錐の色の塗り分け(3)を解説していきます。

 

【解説】正四角錐の色の塗り分け(3)

(3) 異なる3色を全て使う

\(\\\)

正四角錐の5面に対して使える色は3色ですね。

(2) の問題と同じように考えると、向かい合う2組の面に2色塗り、底面に残りの1色を塗る感じですね。

イメージは下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

上図では、底面が赤色、左側面と右側面が緑色、前側面と後側面が黒色となっています。

また、底面の色の塗り方は3色あるので、3通りとなります。

側面に関しては、正四角錐を回転させると一致するので、1通りになりますね。

よって、求める答えは、

\(\\\)

\begin{equation}
3\times1=3\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
どうでしたか?
解き方は、正方形の時と全く同じやり方ですね。
コツは、図を描いて、底面を固定した後で回転させることです。

次は、正四面体の色の塗り分けについて解説していきます。

 

【正四面体編】空間の色の塗り分けの例題

【例題】正四面体の色の塗り分け

正四面体の各面を異なる4色を使って塗り分ける方法は何通り? ただし、隣り合う面は異なる色で塗り、回転させて一致するものは1通りとする。

 

じゅじゅ
では、解説していきます。

 

【解説】正四面体の色の塗り分け

正四面体の各面を異なる4色を使って塗り分ける方法は何通り? ただし、隣り合う面は異なる色で塗り、回転させて一致するものは1通りとする。

\(\\\)

正四面体は全部で4面あるので、各面に異なる色を塗っていけば良いですね。

ここでも、下図のように底面を固定して考えます。

\(\\\)

\(\\\)

上図のように、底面を固定して考えると、3つの側面は円順列と同じ考え方に帰着します。

よって、求める答えは、

\(\\\)

\begin{equation}
(3-1)!=4\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

\(\\\)

ここで、底面を固定した時に、底面の色の塗り方は考えないの?と思った方がいるかもしれないので、このことについて説明しておきます。

底面を固定すると、底面の色の塗り方は4通りになりますが、この図形は正四面体で、正四面体は全ての面が正三角形なので、回転させるとどの面でも底面になります。

つまり、回転させると正四面体の全ての面で底面になる可能性があるので、底面は考えずに側面だけ考えれば良いことになります。

 

じゅじゅ
どうでしたか?
正四面体の面は、全て正三角形であることを考えて解くと良いですね。

次は、正三角柱の色の塗り分けについて解説していきます。

 

【正三角柱編】空間の色の塗り分けの例題

【例題】正三角柱の色の塗り分け

正三角柱の各面を異なる5色を使って塗り分ける方法は何通り? ただし、隣り合う面は異なる色で塗り、回転させて一致するものは1通りとする。

 

じゅじゅ
では、解説していきます。

 

【解説】正三角柱の色の塗り分け

正三角柱の各面を異なる5色を使って塗り分ける方法は何通り? ただし、隣り合う面は異なる色で塗り、回転させて一致するものは1通りとする。

\(\\\)

正三角柱は5面あるので、1つの面に異なる色を塗れば良いですね。

まずは、底面と上面を考えます。

底面の色の塗り方は5通りあり、上面の色の塗り方は4通りありますね。

次に、側面について考えます。

下図のように、底面を固定すると、3つの側面が円形に並んでいることと同じになります。

\(\\\)

\(\\\)

ここで注意すべきことがあります。

上図を見るとわかりますが、側面の色を塗っても、矢印のようにひっくり返すと同じになります。

つまり、円順列ではなく、じゅず順列で考えないといけません。

以上を踏まえると、求める答えは、

\(\\\)

\begin{equation}
5\times4\times\frac{(3-1)!}{2}=20\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
どうでしたか?
「円順列」「じゅず順列」なのかは図を描いてみないとなかなか気づけません。
皆さんも、自分で図を描いて考えてみてください。

 

まとめ:「空間の色の塗り分け」の問題は、円順列・じゅず順列が大事!

じゅじゅ
いかがだったでしょうか?
この記事では、「空間の色の塗り分け」の問題のコツや解き方について解説しました。
ここで、この記事のまとめを書いておくので、ぜひ復習してみてください。

 

この記事のまとめ

  •  「空間の色の塗り分け」を解くコツ
  • 【立方体編】空間の色の塗り分けの例題
  • 【正四角錐編】空間の色の塗り分けの例題
  • 【正四面体編】空間の色の塗り分けの例題
  • 【正三角柱編】空間の色の塗り分けの例題

 

「空間の色の塗り分け」の問題では、立方体や正四角錐など、様々な立体が出題されます。

しかし、どの立体でも考え方はほぼ同じです。

「図を描き、固定させ、円順列やじゅず順列で考える」ことが大事です。

そのため、理解できなかった人はこの記事をもう1回読んで、自分で例題を解けるようにしておきましょう。

「空間の色の塗り分け」は得意だけど「平面の色の塗り分け」が苦手な人は、ぜひ下の記事を読んでみてください。

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