場合の数 数学A

【場合の数】「順列」と「組合せ」の 違いを例題付きで解説します

じゅじゅ
高校数学Aの「場合の数」では、「順列」や「組合せ」の問題が多数出てきます。

いろんな考え方があって、覚えるのも大変ですよね。

 

本記事を読めばわかること

  • 「順列」の公式
  • 「組合せ」の公式
  • 「順列」と「組合せ」の違い

 

この記事を読めば、「場合の数」で勘違いしやすい、「順列」と「組合せ」の違いを理解できます。

「順列」と「組合せ」の違いを理解していないと、「場合の数」では、ほぼ0点しか取れません。

それくらい、「順列」と「組合せ」は大事です。

「場合の数」では、基本的な考え方が最重要となってくるので、本記事で、「順列」や「組合せ」の基礎をマスターさせましょう。

例題を通して、説明していくので、ぜひ例題にもチャレンジしてみてください。

 

場合の数の「順列」と「組合せ」の公式

じゅじゅ
ここでは、「順列」と「組合せ」の違いについて説明していきます。

 

組合せの公式

異なる \(n\) 個のものの中から、 \(r\) 個を取りだす組合せの総数は

\begin{eqnarray}
_n \mathrm{C} _r &=& \frac{_n \mathrm{P} _r}{r!}=\frac{n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)}{r(r-1)・・・3・2・1} \\
&=& \frac{n!}{r!(n-r)!}
\end{eqnarray}

\begin{equation}
_n \mathrm{C} _r=_n \mathrm{C} _{n-r}\ \ \ \ \ \ (0 \leq r \leq n)
\end{equation}

 

上に書いてある「組合せ」の公式は覚えましょう。

次に「順列」の公式を書いておきます。

 

順列の公式

異なる \(n\) 個のものの中から \(r\) 個だけ取りだして、1列に並べる総数は

\begin{eqnarray}
_n \mathrm{P} _r &=& n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1) \\
&=& \frac{n!}{(n-r)!}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
n! &=& n(n-1)(n-2)・・・3・2・1 \\
&=& _n \mathrm{P} _n
\end{eqnarray}

 

「順列」と「組合せ」の式はよく似ていますよね。

ですが、意味が大きく違うので、「順列」と「組合せ」の意味を間違えると、「場合の数」や「確率」では絶望的になってしまいます。

なので、次は「順列」と「組合せ」の違いを説明していきます。

 

「順列」と「組合せ」の違い

じゅじゅ
次に、「順列」と「組合せ」の違いを説明していきます。

 

「順列」と「組合せ」の違い

「順列」は、異なる \(n\) 個のものの中から \(r\) 個だけ取りだして、1列に並べる総数

「組合せ」は、異なる \(n\) 個のものの中から、 \(r\) 個を取りだす組合せの総数

 

「順列は、取り出してから、1列に並べる」のに対して、「組合せは、取り出すだけ」です。

 

これが「順列」と「組合せ」の大きな違いです。

「順列」と「組合せ」では、計算が大きく異なるので、「順列」と「組合せ」の意味を理解していないと、全部✖になってしまいます。

どうやって区別するのか、実際に例題を通して確認してみましょう。

 

「順列」と「組合せ」の例題

じゅじゅ
「順列」と「組合せ」の例題を一緒に解いていきましょう。

 

【例題】順列 と 組合せ

男子5人、女子3人の8人の中から5人選ぶとき、次の問いに答えよ。

(1) 8人から5人選ぶ総数

(2) 男子3人、女子2人を選ぶ総数

(3) 男子3人、女子2人を選んで1列に並べる総数

 

上の例題は、「順列」と「組合せ」が混ざった問題ですね。

問題文をよく読めば、簡単に解けます。

では、順番に解説していきます。

 

【解説】順列 と 組合せ (1)

(1) 8人から5人選ぶ総数

\(\\\)

問題文を図で表すと、下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

8人の中から5人選ぶだけなので、式は

\(\\\)

\begin{equation}
_8 \mathrm{C} _ 5=_8 \mathrm{C} _3=\frac{8・7・6}{3・2・1}=56\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となりますね。

 

じゅじゅ
(1)は、「組合せ」の問題でしたね

 

【解説】順列 と 組合せ (2)

(2) 男子3人、女子2人を選ぶ総数

\(\\\)

問題文を図で表すと、下図のようになります。

\(\\\)

reidai

\(\\\)

(2)の問題も、8人中、男子3人、女子2人を選ぶだけですよね。

まず、男子から考えていくと、男子5人中、3人を選べばいいので

\(\\\)

\begin{equation}
_5 \mathrm{C} _3=_5 \mathrm{C} _2=10\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となりますね。

次に、女子を考えると、女子3人の中から2人を選べばいいので

\(\\\)

\begin{equation}
_3 \mathrm{C} _2=_3 \mathrm{C} _1=3\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

よって、求める答えは

\(\\\)

\begin{eqnarray}
_5 \mathrm{C} _3\times_3 \mathrm{C} _2 &=& 10\times3 \\
&=& 30\ 通り
\end{eqnarray}

\(\\\)

になります。

 

じゅじゅ
(2)も、「組合せ」の問題でしたね

 

【解説】順列 と 組合せ (3)

(3) 男子3人、女子2人を選んで1列に並べる総数

\(\\\)

問題文を図で表すと、下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

問題は、(2)とよく似ていますが、選んだあとに1列に並べないといけません。

つまり、「順列」の考え方も必要となります。

まず、8人中、男子3人、女子2人選ぶ総数は、(2)より

\(\\\)

\begin{eqnarray}
_5 \mathrm{C} _3\times_3 \mathrm{C} _2 &=& 10\times3 \\
&=& 30\ 通り
\end{eqnarray}

\(\\\)

となりますね。

選んだあとに、1列に並べるので、最終的に求める答えは

\(\\\)

\begin{eqnarray}
30\times5! &=& 30\times120 \\
&=& 3600\ 通り
\end{eqnarray}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
(3)は、「組合せ」と「順列」の両方を使う問題でしたね

 

どうでしたか?

例題を解くとわかりますが、キーワードは「1列に並べる」です。

「1列に並べる」というキーワードがあれば、「順列」、類似するキーワードがなければ「組合せ」と考えましょう。

キーワードを問題文で見抜ければ、「順列」と「組合せ」で間違えることはないので、キーワードを見落とさないようにしましょう。

じゅじゅ
例題を解くと、「順列」と「組合せ」の違いがよくわかりますね。

 

まとめ:場合の数の「順列」と「組合せ」の違いは、並べるか、並べないか

じゅじゅ
いかかでしたか?

本記事を最後まで読んだあなたは、「順列」と「組合せ」の違いがよく理解できたはずです。

 

「順列」の場合は、選んだあとに1列に並べ、「組合せ」は選ぶだけです。

簡単に本記事のおさらいをしておきます。

 

本記事のおさらい

  • 場合の数の「順列」と「組合せ」の公式
  • 「順列」と「組合せ」の違い
  • 「順列」と「組合せ」の例題
  • まとめ:場合の数の「順列」と「組合せ」の違いは、並べるか、並べないか

 

「場合の数」や「確率」では、「順列」と「組合せ」の違いを理解しないと、点を取ることができません。

「場合の数」や「確率」で高得点を取るためにも、本記事で説明しているような基礎を徹底的に理解しましょう。

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