場合の数 数学A

【場合の数】「平面の色の塗り分け」問題の解き方をわかりやすく解説します

この記事でわかること

  • 平面の色の塗り分けの考え方のコツ
  • 平面の色の塗り分けの解き方

 

じゅじゅ
高校数学Aの「場合の数」では、「平面の色の塗り分け」の問題が出題されます。
平面の色の塗り分けって「隣り合う部分は異なる色しかダメ」とかいろんな条件があって考えにくいですよね。

 

「場合の数」で高得点を取るには「平面の色の塗り分け」の問題を解けないといけません。

でも大丈夫です!

「平面の色の塗り分け」の問題を解くためのコツはあります。

この「平面の色の塗り分け」の解き方・考え方のコツさえ理解できれば、「平面の色の塗り分け」の問題では簡単に解けるようになります。

そこでこの記事では、「平面の色の塗り分け」の解き方や考え方を例題をもとにわかりやすく解説していきます。

「平面の色の塗り分け」が苦手な人や「場合の数」で高得点を取りたい人は、ぜひ最後まで読んでみてください。

 

平面の色の塗り分けを解くコツ

じゅじゅ
ここでは「平面の色の塗り分け」を解くコツについて簡単に説明していきます。

「平面の色の塗り分け」を解くコツは次の2つです。

 

「平面の色の塗り分け」を解く2つのコツ

  • 図を描く
  • 条件に当てはまる組合せを書き出す

 

上に書いた2つさえできていれば「平面の色の塗り分け」の問題はかなり解きやすくなります。

「平面の色の塗り分け」問題を解くためには「順列」と「組合せ」の違いの理解が必須となります。

そのため、「順列」と「組合せ」の違いを理解していない人は、先に下の記事を読んでみてください。

 

 

じゅじゅ
「平面の色の塗り分け」のコツを踏まえた上で、実際に例題をもとに考えていきましょう。

 

【例題から学ぶ】平面の色の塗り分け

じゅじゅ
ここでは、平面の色の塗り分けの問題を例題を通して解説していきます。
例題は解けなくても良いですが、解説は完璧に理解してくださいね。

 

【例題】平面の色の塗り分け

下図のA、B、C、D、E、Fの各領域を色を使って塗り分ける。隣り合う領域には異なる色を用いる時、次の塗り方は何通りか?

(1) 6色全て用いる

(2) 5色全て用いる

(3) 4色全て用いる

\(\\\)

 

じゅじゅ
平面の領域を塗り分ける問題ですね。
先程説明した、平面・空間の色の塗り分けを解く時のコツを思い出しながら解いてみいてください。

では、それぞれ解説していきます。

 

【解説】平面の色の塗り分け (1)

(1) 6色全て用いる

\(\\\)

領域は、A、B、C、D、E、Fの6つであるので、それぞれの領域に1色ずつ塗っていけば良いですね。

よって、

\(\\\)

\begin{equation}
6!=720\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
次に例題 (2) の解説をしていきます。

 

【解説】平面の色の塗り分け (2)

(2) 5色全て用いる

\(\\\)

5色しか用いることができないので、同じ色を2回使う必要があります。

例として下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

また、隣り合う領域は異なる色で塗らないといけないので、同じ色を使うアルファベットの組み合わせは、次のようになります。

\(\\\)

(A , C)、(A , F)、(B , D)、(C , D)、(C , E)、(D , F)

\(\\\)

上の組み合わせは全部で6通りありますね。

次に、上のアルファベットの領域に色を塗る方法は5通りです。

さらに、残りの4つの領域には、上のアルファベットに塗った色と被らなければ、好きな箇所に好きな色を塗っても良いので、

\(\\\)

\begin{equation}
4!=24\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となりますね。

よって、求める塗り方は、

\(\\\)

\begin{equation}
(6\times5)\times4!=720\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
次に例題 (3) の解説をしていきます。

 

【解説】平面の色の塗り分け (3)

(3) 4色全て用いる

\(\\\)

4色しか使うことができないので、同じ色を塗った領域が2組必要となりますね。

イメージとしては下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

また、同じ色を塗る2組の領域の組み合わせと、残りのアルファベットは、次のようになります。

\(\\\)

(A , C)、(B , D)、E、F

(A , C)、(D , F)、B、E

(A , F)、(B , D)、C、E

(A , F)、(C , D)、B、E

(A , F)、(C , E)、B、D

(B , D)、(C , E)、A、F

(C , E)、(D , F)、A、B

\(\\\)

ゆえに、同じ色を塗る2組の領域の組み合わせと、残りのアルファベットは上記の7通りあります。

上記の7通りの領域に4色使えば良いので、求める答えは、

\(\\\)

\begin{equation}
4!\times7=168\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
どうでしたか?
図を描いて組合せを考えれば解ける問題です。
間違えた人は解説を完璧に理解してもう1回解いてみてくださいね。

 

まとめ:「平面の色の塗り分け」は図を描いて考えよう

じゅじゅ
いかかだったでしょうか?
今回は「平面の色の塗り分け」の解き方や考え方のコツについて説明しました。

簡単にこの記事のまとめを書いておきます。

 

この記事のまとめ

  • 「平面の色の塗り分け」を解くコツ
  • 図を描く
  • 条件の組合せを書き出す
  • 【例題から学ぶ】平面の色の塗り分け

 

「平面の色の塗り分け」は基本的に自分で図を描いて条件となる組合せを書き出してみると、解きやすくなることが非常に多いです。

一つひとつの組み合わせや並べ方を考えていくことが重要となります。

例題でつまずいた人は、もう1回この記事を熟読してみてくださいね。

「平面の色の塗り分け」は解けるけど「空間の色の塗り分け」が苦手な人は、ぜひ下の記事を読んでみてください。

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