場合の数 数学A

【場合の数】重複順列、辞書式配列、隣接順列をわかりやすく解説します

高校数学Aで学習する「場合の数」では、いろんな「順列」の計算が出てきますよね。

どの問題も、基礎的な考え方は共通していますが、細かく見ると、考え方が微妙に違っています。

僕も、「重複順列」や「辞書式配列」の問題は苦手でしたが、いろんな問題に触れることで、苦手意識がなくなっていきました。

大学入試でも、いろんな「順列」の問題は、よく出題されます。

そこで、本記事では、「重複順列」、「辞書式配列」、「隣接順列」の基礎的な考え方をわかりやすく解説していきます。

場合の数が苦手なあなた、本記事で、場合の数の「順列」の計算や考え方をマスターさせましょう。

場合の数の基礎の基礎から復習したい人は、下の記事を先に読むと、本記事の理解度も深まりますよ。

 

 

 

重複順列

ここでは、重複順列について説明していきます。

 

重複順列とは

異なる \(n\) 個のものから重複を許して \(r\) 個取って並べる順列の総数は

\(n^r\) 個 

 

イメージは下図のようになります。

 

 

上の図を見たら、イメージしやすいです。

重複順列は『選んでもとに戻す』イメージです。

まだ、わかりにくいと思うので、実際に例題を通して理解していきましょう。

 

【例題】重複順列

1、2、3、4、5、6 の中から重複を許して選んでできる 4 桁の整数の総数は?

 

問題文に「重複を許して~」と書いてあるので、重複順列の考え方で解けますね。

では、解説していきます。

 

【解説】重複順列

1、2、3、4、5、6 の中から重複を許して選んでできる 4 桁の整数の総数は?

\(\\\)

6個の数字から4個選ぶので

\(\\\)

\begin{equation}
6^4=1296\ 個
\end{equation}

\(\\\)

となりますね。

 

どうでしょう?

計算でやっていることは、選んでリセット、選んでリセットの繰り返しですよね。

重複順列の考え方は、簡単なので、マスターしておきましょう。

次は、辞書式配列について説明していきます。

 

辞書式配列

ここでは、「辞書式配列」について解説していきます。

 

辞書式配列とは

辞書のように並べていくときの並び順

⇒ アルファベット順や数字順

 

辞書で何か言葉をさがすとき、まず、先頭の文字を「あ・か・さ・た・な・・・」順で探して、2番目の文字も「あ・か・さ・た・な・・・」順で探しますよね。

このような辞書を引く手順で、数の総数で考えるやり方を「辞書式配列」と言います。

辞書式配列で問題を解くためのコツを伝授します。

 

【コツ】辞書式配列

  • 前から順番に数える
  • 計算で途中までの通り数を求める
  • 求めたい文字式付近は、1つずつ調べていく

 

上に書いたコツを抑えておけば、「辞書式配列」は解くことができます。

実際に、例題を使って考えていきましょう。

 

【例題】辞書式配列

a、b、c、d、e の5文字を1つずつ使ってできるすべての文字列をアルファベット順に並べたとき

(1) c a d e b は何番目?

(2) 91番目の文字列は何?

 

アルファベットの順番を考える問題なので、辞書式配列の考え方で解いていきます。

では、解説します。

 

【解説】辞書式配列 (1)

(1) c a d e b は何番目?

\(\\\)

a 〇 〇 〇 〇 ⇒ \(4!=24\) 通り

b 〇 〇 〇 〇 ⇒ \(4!=24\) 通り

c a b 〇 〇 ⇒ \(2!=2\) 通り

c a d b e  の次に c a d e b となるので

\begin{equation}
24+24+2+1+1=52\ 番目
\end{equation}

\(\\\)

詳しく説明してみます。

まず、先頭の文字が a の場合を考えます。

a〇〇〇〇 は、〇が4つあり、〇の並べ方は全部で \(4!=24\) 通りありますね。

次に、先頭の文字が b の場合を考えます。

b〇〇〇〇 は、a〇〇〇〇 と同じく、〇が4つあるので、全部で \(4!=24\) 通りあります。

次に、先頭の文字が c の場合を考えます。

c a b 〇〇 は〇の数が2つあるので、全部で \(2!=2\) 通りありますね。

この次の文字を考えると

c a d b e

となりますね。

さらに次の文字を考えると

c a d e b 

となります。

\(\\\)

よって、c a d e b は

\(\\\)

\begin{equation}
24+24+2+1+1=52\ 番目
\end{equation}

\(\\\)

に存在することとなります。

 

【解説】辞書式配列 (2)

(2) 91番目の文字列は何?

\(\\\)

a 〇 〇 〇 〇 ⇒ \(4!=24\) 通り

b 〇 〇 〇 〇 ⇒ \(4!=24\) 通り

c 〇 〇 〇 〇 ⇒ \(4!=24\) 通り

\(\\\)

ここまでで、 \(24+24+24=72\) 番目までを表しています。

\(\\\)

d 〇 〇 〇 〇 ⇒ \(4!=24\) 通り

\(\\\)

となるので、ここまでで、 \(72+24=96\) 番目までを表しています。

つまり、91番目の文字列の先頭の文字は d から始まることがわかりますね。

\(\\\)

d a 〇 〇 〇 ⇒ \(3!=6\) 通り

d b 〇 〇 〇 ⇒ \(3!=6\) 通り

d c 〇 〇 〇 ⇒ \(3!=6\) 通り

\(\\\)

ここまでで、 \(72+6+6+6=90\) 番目を表しています。

よって、91番目は90番目の次の文字列であるので

\(\\\)

d e a b c

\(\\\)

となります。

 

どうでしたか?

辞書で言葉を探すときと、全く同じやり方で求められます。

「辞書式配列」は場合の数の特有な問題なので、ぜひマスターしてくださいね。

 

隣接順列

ここでは、隣接順列について説明していきます。

隣接順列の解き方もほぼ決まっているので、解き方さえ理解してしまえば、簡単に解けます。

隣接順列のコツを説明しますね。

 

【コツ】隣接順列

  • 隣り合う ⇒ 1つにまとめて考える
  • 隣り合わない ⇒ 両端または間に入れていく

 

上のコツを覚えておけば、隣接順列は簡単に攻略できますよ。

実際に、例題を解いて理解していきましょう。

 

【例題】隣接順列

男子5人、女子3人を1列に並べるとき、次の並べ方は何通り?

(1) 男子の5人が隣り合う

(2) 女子が隣り合わない

 

典型的な隣接順列の問題ですね。

では、(1) から順番に解説していきます。

 

【解説】隣接順列 (1)

(1) 男子の5人が隣り合う

\(\\\)

隣り合う ⇒ 1つにまとめて考える

というコツでしたね。

\(\\\)

男子5人を1つのグループにすると、1グループと女子3人になりますよね。

この考え方の図を下に描いておきます。

\(\\\)

\(\\\)

1グループと女子3人を1列に並べるには

\(\\\)

\begin{equation}
4!=24\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となりますね。

また、1グループの中には、男子5人がいるので、男子5人の並べ方は

\(\\\)

\begin{equation}
5!=120\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。よって、求める総数は

\(\\\)

\begin{eqnarray}
4!\times5! &=& 120\times24 \\
&=& 2880\ 通り
\end{eqnarray}

\(\\\)

となります。

 

次に、例題(2) の解説をしていきます。

 

【解説】隣接順列 (2)

(2) 女子が隣り合わない

\(\\\)

隣り合わない ⇒ 両端または間に入れていく

というコツでしたね。

このコツを使いましょう。

\(\\\)

女子が隣り合わない ⇒ 男子の間に女子を入れていけばよい

\(\\\)

ということになります。

イメージ図を下に描いておきますね。

\(\\\)

\(\\\)

上の図の6個の赤丸のうち3個の赤丸に女子を入れていけば良いことになります。

まず、男子の並べ方は5人を1列に並べることと同じなので

\(\\\)

\begin{equation}
5!=120\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

になりますね。

女子に関しては、6個の赤丸のうち、3個の赤丸を選んで、3人を並ばせると良いので

\(\\\)

\begin{equation}
_6 \mathrm{P} _3=6\cdot 5\cdot 4=60\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

が得られます。

以上より、求める総数は

\(\\\)

\begin{equation}
120\times60=7200\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

まとめ:場合の数の重複順列、辞書式配列、隣接順列

いかかでしたか?

本記事では、高校数学Aの場合の数の重複順列、辞書式配列、隣接順列の基礎を説明しました。

本記事のおさらいをしてきます。

 

本記事のおさらい

  • 重複順列
  • 辞書式配列
  • 隣接順列
  • まとめ:場合の数の重複順列、辞書式配列、隣接順列

 

重複順列や、辞書式順列、隣接順列は、特徴的な考え方をするので、解き方を理解していなと解けません。

逆に言うと、解き方や考え方さえ覚えていれば、重複順列、辞書式順列、隣接順列は、簡単に解くことができます。

なので、本記事で重複順列、辞書式配列、隣接順列はマスターしてくださいね。

例題でつまずいた人はもう1回読み直してみましょう。

また、場合の数の基礎の基礎や、もっと簡単な順列をおさらいしたい人は、下の記事も読んでみると良いですよ。

 

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