場合の数 数学A

【場合の数】「重複組合せ」と「重複順列」の違いをわかりやすく解説します

この記事でわかること

  • 重複組合せの公式
  • 重複組合せの考え方
  • 重複組合せと重複順列の違い

 

じゅじゅ
高校数学Aの場合の数では「重複組合せ」「重複順列」というものを学習します。
「重複組合せ」と「重複順列」の違いってわかりにくいですよね。

 

しかし、「重複組合せ」と「重複順列」は似ていますが全く異なります。

「重複組合せ」と「重複順列」の違いを理解していないと、「重複組合せ」と「重複順列」のどちらで解いたら良いのかわからなくなります。

そこでこの記事では、重複組合せ」の公式や考え方について説明した後に、「重複組合せ」と「重複順列」の違いを解説していきます。

また、「重複組合せ」を使った例題も用意しています。

場合の数で高得点を狙いたい人は、ぜひ最後まで読んでみてください。

 

重複組合せの公式と考え方

じゅじゅ
ここでは、重複組合せの公式と考え方についてそれぞれ説明していきます。
公式の意味や考え方は十分に理解してくださいね。

 

重複組合せの公式

じゅじゅ
まずは重複組合せの公式について説明していきます。

 

重複組合せの公式

異なる \(n\) 種類のものから重複を許して \(r\) 個選ぶ組合せの総数は、

\begin{equation}
\Large_{n+r-1} \mathrm{C} _r \normalsize または \Large_n \mathrm{H} _r
\end{equation}

である

 

結論から言うと、この公式を覚える必要はありません。

なぜなら、重複組合せの考え方さえ理解していれば、公式を使わず解けるからです。

じゅじゅ
というわけで、次は重複組合せの考え方について解説していきます。

 

重複組合せの考え方

じゅじゅ
ここでは、重複組合せの考え方について説明していきます。
絶対に理解してくださいね。

まずは、重複組合せを考える時のコツをお伝えします。

 

重複組合せのコツ

「仕切り」を入れて考えて、「同じものを含む順列」に帰着させる

ちなみに「同じものを含む順列」の考え方や解き方を知りたい人は下の記事を見てくださいね。

このコツを踏まえた上で、例をもとに「重複組合せ」の考え方を説明していきます。

 

【例】重複組合せの考え方

今、赤玉、青玉、緑玉がたくさんあります。この中から重複を許して6個の玉を取り出す時、何通りの取り出し方があるか?ただし、1個も取り出さない玉があってもよい。

 

この例は、たくさんの赤玉、青玉、緑玉がある中からランダムで6個だけ取りだすという問題ですね。

例えば、下図のような取り出し方になります。

 

 

 

 

問題では上図の1個目と2個目の図のように、赤玉、青玉、緑玉をそれぞれ取り出す方法と、3個目の図のように青玉を取り出さずに、赤玉と緑玉を取り出す方法などがあります。

結局、赤玉ゾーン・青玉ゾーン・緑玉ゾーンに分けて、玉を6個取り出すことと同じですよね。

つまり、仕切りを2個考えて赤玉ゾーン・青玉ゾーン・緑玉ゾーンに分類すれば良いことになります。

よって、求めるのは「赤玉、青玉、緑玉の合計6個の玉と仕切り2個の順列」です。

「赤玉、青玉、緑玉の合計6個の玉と仕切り2個の順列」は「同じものを含む順列」の考え方で解けます。

したがって、この問題では、

 

\begin{equation}
\frac{(6+2)!}{6!2!}=\frac{8!}{6!2!}=28\ 通り
\end{equation}

 

もしくは、6個の玉と仕切り2個の8個のものから仕切りを2か所選ぶということなので、

 

\begin{equation}
_8 \mathrm{C} _2=28\ 通り
\end{equation}

 

ということになります。

この例を踏まえて公式の解説をすると、重複組合せの公式は「\(r\) 個の『〇』と \(n-1\) 個の仕切りの合計 \(r+n-1\) 個から \(r\) 個選ぶ」ことを表しています。

しかし、上の例で計算したように「重複組合せ」は「同じものを含む順列」に帰着するので、公式は覚えなくても良いです。

 

【結論】重複組合せの考え方

  • 仕切りを入れて「同じものを含む順列」に帰着させる
  • 「重複組合せ」の公式は覚えなくても良いが、公式の理解は必要

 

じゅじゅ
ここでは「重複組合せ」の考え方を説明しました。
公式は覚えなくても良いですが、考え方公式の意味は必ず理解してください。

次は、「重複組合せ」と「重複順列」の違いを説明していきます。

 

「重複組合せ」と「重複順列」の違い

じゅじゅ
ここでは「重複組合せ」と「重複順列」の違いについて解説していきます。

 

「重複組合せ」と「重複順列」の違い

  • 「選んで並べる」⇒ 重複順列
  • 「選ぶだけ」⇒ 重複組合せ

 

じゅじゅ
「重複組合せ」と「重複順列」は「並べるか」「並べないか」だけの違いですね。

例えば、「赤玉、青玉、緑玉がたくさんあり、この中から重複を許して5個選んで並べる総数」を求める問題は、「重複順列」となります。

一方で、「赤玉、青玉、緑玉がたくさんあり、この中から重複を許して5個選ぶ総数」を求める問題は、「重複組合せ」となります。

重複順列の解き方を知りたい人は、下の記事を見てくださいね。

じゅじゅ
次は「重複組合せ」の例題を紹介します。
ぜひ解いてみてください。

 

重複組合せの例題

じゅじゅ
ここでは、「重複組合せ」の例題を紹介していきます。
簡単なのでぜひ解いてみてくださいね。

 

【例題】重複組合せ

\(a+b+c+d=7\) について

(1) 0以上の整数解は何個?

(2) 正の整数解は何個?

 

じゅじゅ
整数解の問題ですが、重複組合せの考え方で解くことができます。
では、それぞれ解説していきます。

 

【解説】重複組合せの例題 (1)

\(a+b+c+d=7\) について

(1) \(a+b+c+d=7\) について0以上の整数解は何個?

\(\\\)

(1) の問題では、0以上なので0を含んでも良いこととなります。

すなわち、仕切りで分けた時に、空白のゾーンがあっても良いということになります。

この考え方を踏まえて図を描くと下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

\(\\\)

上図を見ると、7個の「〇」と3つの仕切りの「同じものを含む順列」に帰着します。

よって、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{(7+3)!}{7!3!}=\frac{10!}{7!3!}=120\ 個
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
次に例題 (2) を解説していきます。

 

【解説】重複組合せの例題 (2)

(2) \(a+b+c+d=7\) について正の整数解は何個?

\(\\\)

(2)の問題は正の整数解なので、0を含んではいけません。

つまり、空白ゾーンがあってはならないことになります。

このような問題の時は、まず最初に \(a\)、 \(b\)、 \(c\)、 \(d\) のゾーンに1個だけ「〇」を入れておき、後から追加で「〇」を入れていくという考え方をします。

この考え方を踏まえて図を描くと下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

上図より、後から入れる「〇」が3個と、仕切り3個の「同じものを含む順列」に帰着できます。

よって、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{(3+3)!}{3!3!}=\frac{6!}{3!3!}=20\ 個
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
どうでしたか?
例題は比較的簡単だったと思います。
「全てを1個以上選ぶ場合は最初に1個ずつ分配しておく」ことが重要です。
間違えた人はもう1回理解してやり直してみてくださいね。

 

まとめ:「重複組合せ」と「重複順列」の違いは絶対に理解しよう

じゅじゅ
いかがでしたか?
今回は「重複組合せ」の考え方や解き方、「重複組合せ」と「重複順列」の違いについて解説しました。

改めてこの記事のまとめを書いておきます。

 

この記事のまとめ

  • 重複組合せの公式
  • 重複組合せの考え方
  • 「重複組合せ」と「重複順列」の違い
  • 重複組合せの例題

 

重複組合せは基本的に「仕切り」を入れて、「同じものを含む順列」に帰着させることさえ覚えていれば、公式を覚える必要はなくなります。

また、「重複順列」と「重複組合せ」の違いは絶対に理解しておいてくださいね。

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