場合の数 数学A

【場合の数】円順列・じゅず順列の違いと同じものを含む円順列を解説します

この記事でわかること

  • 円順列の公式と考え方
  • じゅず順列の公式と考え方
  • 円順列とじゅず順列の違い
  • 同じものを含む円順列・じゅず順列について

 

じゅじゅ
高校数学Aの「場合の数」では「円順列」や「じゅず順列」と呼ばれるものが出てきます。 「円順列」と「じゅず順列」の違いってわかりにくいですよね。

 

しかし、「円順列」と「じゅず順列」の考え方は微妙に違っています。

「円順列」と「じゅず順列」の違いを理解していないと、「円順列」や「じゅず順列」の問題で間違えてしまいます。

また単純な「円順列」や「じゅず順列」は解けても、重複している場合の「円順列」や「じゅず順列」は対応できません。

そこでこの記事では、「円順列」や「じゅず順列」の公式と考え方を解説していきます。

また、「同じものを含む円順列・じゅず順列」の解き方「円順列」と「じゅず順列」の例題も用意しています。

場合の数の「円順列」や「じゅず順列」が苦手な人は、ぜひ最後まで読んでみてください。

 

円順列の公式と考え方

じゅじゅ
ここでは「円順列」の公式と考え方について解説していきます。

「円順列」は図を描いて考えると理解しやすいので、自分で解く時は図をしっかりと描いてくださいね。

まずは「円順列」の公式から説明してきます。

円順列の公式

円順列の公式

異なる \(n\) 個のものの円順列の総数は、

\(\\\)

\(\Large(n-1)!\)

\(\\\)

個である。

 

じゅじゅ
この「円順列」の公式は覚えてください。
では「円順列」の考え方について説明していきます。

 

円順列のポイント

回転させて一致したら同じものとみなす

 

円順列の基本的な考え方について説明していきます。

例として赤玉、青玉、黒玉、白玉の4つの玉を円形に並べたときで説明していきましょう。

まず、下図のように赤、青、黒、白の4つの玉を円形に並べます。

 

 

上図のような赤、青、黒、白の玉を1列に並べる並べ方は、 \(4!=24\) 通りあります。

次に上図を右に回転させた図を下図に描いてみます。

 

 

上の3つの図は1個目の図を右に回転させていっただけであることがわかります。

すなわち、赤玉、青玉、黒玉、白玉の4個の玉を1回並べると、全部で4つの被りが出てきます。

この考え方から、\(4!=24\) 通りから4で割らないといけません。

よって、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{4!}{4}=(4-1)!=6\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
次にもっと簡単な円順列の考え方について説明していきます。

 

円順列の考え方

じゅじゅ
ここでは、円順列の簡単な考え方について解説していきます。
今から説明する考え方をしっかりと理解してくださいね。

 

【簡単】円順列の考え方

1つのものを固定して、残っているものの順列を考える

 

先程の例と同じで赤玉、青玉、黒玉、白玉の4つの玉を円形に並べたときを考えます。

ここで、下図のように赤玉を固定します。

 

 

1番上の赤玉を固定して考えると、青玉、黒玉、白玉の3つの順列を考えれば良いことになります。

つまり、4つの玉から赤玉を除いた3つの玉を1列に並べた時の順列は、

 

\begin{equation}
(4-1)!=3!=6\ 通り
\end{equation}

 

となります。

やっていることは、1つのものを固定して残りのものの並べ方を考えているだけです。

この固定する考え方の方が簡単なので、しっかりと理解してくださいね。

じゅじゅ
では、円順列の例題を解いてみましょう。

 

円順列の例題

じゅじゅ
ここでは円順列の例題を紹介します。
簡単な問題なのでぜひ挑戦してみてください。

 

【例題】円順列

両親、息子3人、娘3人の8人を円形に並べたとき、次の問いに答えよ。

(1) 両親が隣り合う並べ方は何通り?

(2) 両親が向かい合う並べ方は何通り?

 

じゅじゅ
簡単な問題ですね。
図を描いてみるとわかりやすいですよ。
では、それぞれ解説していきます。

 

【解説】円順列の例題 (1)

(1) 両親が隣り合う並べ方は何通り?

\(\\\)

この例題のコツは、

\(\\\)

「隣り合う」⇒1セットにして考える

\(\\\)

ということです。

これをもとに考えていきます。

\(\\\)

下図のように父と母を1セットにして考えます。

\(\\\)

\(\\\)

父と母を1セットにして考えると、7人がを円形に並べることと同じになります。

また、父と母の並び方は、 \(2!=2\) 通りであることも考慮すると、

\(\\\)

\begin{equation}
(8-1)!\times2!=10080\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

じゅじゅ
次に例題の(2)を解説していきます。

【解説】円順列の例題(2)

(2) 両親が向かい合う並べ方は何通り?

\(\\\)

この問題も図を描いて考えてみましょう。

両親が向かい合う図を描くと下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

上図において、父を固定すると母は反対の位置に決まり、母を固定すると父は反対の位置になります。

つまり、父か母のどちらかを固定すると、残っている親はただ1通りに決まるので、この問題では父と母を考える必要はなくなります。

ゆえに、残っている両親以外の6人だけを考えれば良い。

息子3人、娘3人は6席のうちどの席でも良いので、この問題は6人が1列に並ぶ順列と同じになる。

よって、

\(\\\)

\begin{equation}
6!=720\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
どうでしたか?
円順列の問題は図を描いて考えると非常にわかりやすくなります。
問題文から自分で図を描けるようにしておいてくださいね。

次は「じゅず順列」について解説していきます。

 

じゅず順列の公式と考え方

じゅじゅ
ここでは「じゅず順列」の公式や考え方について解説していきます。
「円順列」と「じゅず順列」の違いをしっかりと理解してくださいね。
まずは「じゅず順列」の公式から説明していきます。

 

じゅず順列の公式

じゅじゅ
ここでは「じゅず順列」の公式について説明していきます。

 

じゅず順列の公式

異なる \(n\) 個のもののじゅず順列の総数は、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{(n-1)!}{2}\ 個
\end{equation}

\(\\\)

と表せる

 

「じゅず順列」の公式は「円順列」の公式と似ていますが、微妙に違いますよね。

じゅじゅ
次に、「じゅず順列」の公式でなぜ2で割っているのかを解説していきます。

 

じゅず順列の考え方

ここでは、じゅず順列の考え方を説明していきます。

まずはじゅず順列のポイントをお伝えします。

 

じゅず順列のポイント

  • 回転させて一致したら同じものみなす
  • 裏返して一致したら同じものとみなす

 

1個目の「回転させて一致したら同じものとみなす」は「円順列」と同じです。

 

じゅじゅ
つまり、「じゅず順列」は「円順列」の考え方も含みながら、裏返した場合のことも考える順列となりますね。

このポイントを踏まえて、「じゅず順列」の考え方を解説していきます。

 

下図の左側ように、①、②、③、④、⑤の番号が書かれた玉を円形に並べます。

 

 

上図の左側を裏返すと上図の右側の図になりますよね。

「じゅず順列」では裏返した場合も考えないといけません。

つまり、右回りに読んだときに①②③④⑤①のように並んでいるものと、①⑤④➂②①のように並んでいるものは同じになります。

よって、表と裏で重複してしまうので「じゅず順列」の公式では、 2 で割っていることになります。

じゅず順列のまとめ

「じゅず順列」では、裏返すと一致する場合を除く⇒2で割らないといけない

 

じゅじゅ
では「じゅず順列」の例題を解いてみましょう。

 

じゅず順列の例題

じゅじゅ
ここでは「じゅず順列」の例題を紹介します。
簡単なのでぜひ挑戦してみてください。

 

例題に入る前に「じゅず順列」の見分け方をお伝えしておきます。

じゅず順列の見分け方

問題文に「首飾り」や「数珠」というキーワードがあれば「じゅず順列」

 

【例題】じゅず順列

赤玉、青玉、緑玉、白玉、黒玉の5つの玉で首飾りを作る時、何通りの首飾りができるか?

 

じゅじゅ
問題文に「首飾り」というキーワードがあるので、この例題は「じゅず順列」ですね。
では解説していきます。

 

【解説】じゅず順列の例題

赤玉、青玉、緑玉、白玉、黒玉の5つの玉で首飾りを作る時、何通りの首飾りができるか?

\(\\\)

例として下図のような図を描きます。

\(\\\)

\(\\\)

上図のように裏返すと一致するものがあるので、「円順列」で考えた後で 2 で割らないといけません。

よって、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{(5-1)!}{2!}=12\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
どうでしたか?
単純な「じゅず順列」の問題は「円順列」で考えた後に 2 で割れば良いだけです。
しっかりと図を描いて考えれば簡単です。

次は、「同じものを含む円順列・じゅず順列」について簡単に説明していきます。

 

同じものを含む円順列・じゅず順列

じゅじゅ
ここでは「同じものを含む円順列・じゅず順列」について説明していきます。

「同じものを含む円順列・じゅず順列」は左右対称か、左右非対称かで考えます。

左右対称の場合と左右非対称の場合で解き方が違ってくるので、左右対称・左右非対称の判断は自分で図を描いて確認してくださいね。

では、左右対称の時と左右非対称の時でどのように考えるのかを紹介します。

 

左右対称・左右非対称の考え方

「円順列」にしたときに左右対称⇒「じゅず順列」にしたときに1通りになる

「円順列」にしたときに左右非対称⇒「じゅず順列」にしたときに2通りが1通りになる

 

じゅじゅ
ちょっと難しいですよね。

左右対称・左右非対称の考え方を例題を通して理解してみましょう。

 

【例題】同じものを含む円順列

(1) 赤玉1個、青玉2個、黒玉4個を使うと何通りの首飾りができるか?

(2) 赤玉4個、青玉2個を使うと何通りの首飾りができるか?

 

じゅじゅ
「同じものを含む円順列・じゅず順列」では図が必須なので、自分で図を描いて考えてみてください。
では解説していきます。

 

【解説】同じものを含む円順列 (1)

(1) 赤玉1個、青玉2個、黒玉4個を使うと何通りの首飾りができるか?

\(\\\)

下図のように図を描いてみます。

\(\\\)

\(\\\)

この問題では赤玉が1個だけなので、赤玉を固定すると青玉2個、黒玉4個の「同じものを含む順列」に帰着する。

このときの青玉2個、黒玉4個の「同じものを含む順列」の総数は、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{(7-1)!}{2!4!}=15\ 個
\end{equation}

\(\\\)

となります。

次に、左右対称なものがあるかどうかを判断します。

図を描いていくと、下図の3つが左右対称であることがわかります。

\(\\\)

\(\\\)

上図より、左右対称な並べ方が3通りあることがわかります。

「円順列」にしたときに左右対称⇒「じゅず順列」にしたときに1通りになるので、左右対称のじゅず順列は3通りとなります。

ゆえに、左右非対称の並べ方は、

\(\\\)

\begin{equation}
15-3=12\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

であることがわかります。

つまり、左右非対称である12通りの円順列のうち、じゅず順列は、

「円順列」にしたときに左右非対称⇒「じゅず順列」にしたときに2通りが1通りになるので、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{12}{2}=6\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

以上より、「左右対称のじゅず順列」と「左右非対称のじゅず順列」を足し合わせると、

\(\\\)

\begin{equation}
3+6=9\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

と求められます。

 

じゅじゅ
次に、例題の(2)を解説していきます。

 

【解説】同じものを含む円順列 (2)

(2) 赤玉4個、青玉2個を使うと何通りの首飾りができるか?

\(\\\)

この問題は、(1)と違って1個だけのものがないので、全て書き出す必要があります。

そこで、青玉2個のうち1個の青玉を固定して残りの青玉を動かして左右対称・左右非対称の並べ方を探していきます。

1個の青玉を1番上で固定して、もう1つの青玉を動かしていくと下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

上図の左側の図は左右対称で、真ん中と右側の図は左右非対称であることがわかります。

よって、並べ方は上図の3通りだけなので、求める答えは、

\(\\\)

3 通り

\(\\\)

となります。

じゅじゅ
どうでしたか?
左右対称・左右非対称を見つけるには図を描くことが大事です。

 

まとめ:「円順列」と「じゅず順列」の違いは絶対に理解しよう

じゅじゅ
いかかだったでしょうか?
今回は「円順列」と「じゅず順列」の違いと「同じものを含む円順列・じゅず順列」について解説しました。

 

この記事の内容を最後にまとめておきます。

 

この記事のまとめ

  • 円順列の公式
  • 円順列の考え方
  • 円順列の例題
  • じゅず順列の公式
  • じゅず順列の考え方
  • じゅず順列の例題
  • 同じものを含む円順列・じゅず順列
  • まとめ:「円順列」と「じゅず順列」の違いは絶対に理解しよう

 

「円順列」と「じゅず順列」の違いを理解することは重要です。

「円順列」と「じゅず順列」の違いを理解しておけば、「同じものを含む円順列・じゅず順列」にも上手く対応できます。

例題で間違えた人はもう1度この記事を熟読してみてください。

この記事で出てきた「同じものを含む順列」についてわからない人は下の記事を読んでみてください。

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