場合の数 数学A

【場合の数】数A 場合の数の超基礎ををあなたにわかりやすく解説します

高校数学Aの「場合の数」は、あとで学習する「確率」にもつながる分野です。

また、大学入試でも、かなりの頻度で出題されるので、超重要単元となります。

さらに、場合の数は考え方が特有の問題もあり、苦手な人がすごく多いんです。

僕も実際、「場合の数」が苦手だったので、「確率」でも点が取れませんでした。

でも、基礎を徹底的に勉強したら、「場合の数」や「確率」の問題で点が取れるようになっていました。

言い換えると、基礎をマスターしたら、場合の数や確率は攻略できます。

そこで、本記事では、場合の数をマスターするために、場合の数の基礎の基礎を解説していきます。

一緒にあなたの苦手分野を克服していきましょう。

 

場合の数とは

あなたは、「場合の数」を解くときに、絶対に求められる方法を知っていますか?

それは、全て書き出すことです。

全て書き出すことで、全通り数を求めることができますよね?

でも、全部書いていたらどうなるか。

もし、答えが1000通りだとしたら、1000通りすべて書くのでしょうか。

さすがに、1000通り書きだすのはきついですよね。

そこで、「計算で求めてみましょう」という考えで、出てきたのが「場合の数」です。

計算で求めることができるなら、たとえ、答えが10000通りでも求められそうですよね。

和の法則』と『積の法則』をもとに、計算で「場合の数」を攻略していきましょう。

 

場合の数の攻略【基礎】

次に、場合の数の攻略方法を説明していきます。

場合の数の問題では、基本的に「和の法則」と「積の法則」を使って求めます。

 

場合の数の攻略①:和の法則

ここでは、和の法則について説明していきます。

まずは、下の図をみてください。

 

 

和の法則

Aが起こる数が \(a\) 通り、Bが起こる数が \(b\) 通りとし、A、Bが同時に起こらないとき

AまたはBが起こる数 = \(a+b\) 通り

 

上の内容が「和の法則」です。

ちなみに、上の図のように、AとBが完全に分かれていて、共通部分がないとき、「AとBは互いに排反である」という。

つまり、排反ならば、共通部分がないということですね。

次に、排反ではない場合を考えます。

下図をみてください。

 

 

上の図は排反ではない場合の図です。

上の図の赤線ように、排反ではないときは、共通部分がありますね。

排反ではないときの、計算の仕方を教えます。

和の法則【排反ではないとき】

AまたはBが起こる数 = \(a+b-c\) 通り

 

式を見ると、共通部分が2回数えられているので、全体から \(c\) の部分を1回引くという考え方ですね。

では、実際に例題を使って考えてみましょう。

 

【例題】和の法則

1~25までの整数の中で3の倍数または7の倍数となる数の総数は?

 

単純な問題ですね。

実際、全部書き出して数えてもいいのですが、計算で求めてみましょう。

では、解説していきます。

 

【解説】和の法則

1~25までの整数の中で3の倍数または7の倍数となる数の総数は?

\(\\\)

A:3の倍数

B:7の倍数 

C:21の倍数 とすると

\(\\\)

Aの数は、 25÷3=8・・・1 なので、8通り

Bの数は、 25÷7=3・・4 なので、3通り

Cの数は、 25÷21=1・・・4 なので、1通り

\(\\\)

よって、求める数は、 8+3-1=10 通り となります。

ちなみに、図を描くと下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

Aの8通りには、共通部分の「21」を含んでおり、Bの3通りにも「21」は含まれています。

このダブりを引くために、CでAとBの最大公約数の倍数の数を求めて、引いています。

つまり、21の倍数の数を全体から引いていることとなります。

 

どうでしたか?

やっていることは、全体から、共通部分の数を引いて求めているだけです。

簡単な問題なので、間違えた人は、もう1度確認してみましょう。

 

場合の数の攻略②:積の法則

ここでは、積の法則について説明していきます。

 

積の法則

Aが \(a\) 通り起こり、それぞれについてBが \(b\) 通り起こるとき

AとBがともに起こる数 = \(ab\) 通り

 

少しイメージしにくいですよね。

そこで、積の法則を例題を使って説明していきたいと思います。

 

【例題】積の法則

AさんとBさんの2人がじゃんけんをするとき、手の出し方の総数は?

 

よくある問題ですね。

問題のレベルとして中学レベルですね。

では、解説していきます。

 

解説

AさんとBさんの2人がじゃんけんをするとき、手の出し方の総数は?

\(\\\)

Aさんは、グー・チョキ、パーの3通りの出し方がありますね。

Aさんがグー・チョキ・パー

のどれを出しても、Bさんもグー・チョキ・パーの3通りの出し方があります。

\(\\\)

よって、求める総数は、 3×3=9 通り となります。

ちなみに、樹形図を描くと下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

上の樹形図を数えても9通りになりますね。

 

どうでしたか?

問題は、中学レベルですが、樹形図を描かずに計算で求められると、非常に楽になりますよね。

楽に求めるためにも「積の法則」を絶対、マスターしてくださいね。

 

場合の数の攻略③:余事象

次に、余事象について説明していきます。

 

余事象

「少なくとも1つはAである」

⇒ 求めたい数 =「全体の総数」ー 「Aの数」

 

余事象は、最初から場合の数を求めるのではなく、全体から引いて求める考え方です。

キーワードは、「少なくとも~」です。

問題文に「少なくとも~」があると、余事象を使うと、楽に求められます。

少しイメージしにくいと思うので、例題を使って確認していきましょう。

 

【例題】余事象

コインを3回投げるとき、少なくとも1つは裏になる場合は何通り?

 

問題文に「少なくとも~」があるので、余事象を使うと簡単に解けますね。

では、解説していきます。

 

【解説】余事象

コインは「表」「裏」の2通りしかないので、コインを3回投げると、全体で、2×2×2=8 通りの出方しかありませんね。

\(\\\)

「少なくとも1つは裏 ⇒ 全て表以外」

\(\\\)

と言い換えることができますよね。

この言い換えを使うと、3回とも「表」になるのは1通りしかありません。

3回とも「表」になる場合以外の数を求めれいいので

\(\\\)

求める数は 8 通りー1 通り= 7 通り となりますね。

 

どうでしたか?

例題のように、「全体から引いて求める」という解き方が「余事象」なので、自分で使いこなせるようにマスターしてくださいね。

 

場合の数での計算【順列】

ここでは、場合の数で使う文字式を説明していきます。

場合の数で点を取るには「順列」を理解しないといけません。

 

順列とは?

順列とは、「異なる \(n\) 個のものの中から \(r\) 個だけ取りだして、1列に並べる総数」のこと

 

nPr の計算【順列】

\begin{equation}
_n \mathrm{P} _r=n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}
\end{equation}

\begin{equation}
n!=n(n-1)(n-2)・・・3・2・1=_n \mathrm{P} _n
\end{equation}

 

上の式の計算は覚えてください。

覚えていないと計算で点が取れません。

「!」は階乗と読みます。

ちなみに、例外として覚えてほしい式が2つあるので、紹介しておきますね。

 

例外【順列】

\begin{equation}
0!=1
\end{equation}

\begin{equation}
_n \mathrm{P} _0=1
\end{equation}

 

上に書いた例外の式は覚えておきましょう。

たまに出てきます。

文字だけだとわかりにくいので、例題を通して理解していきましょう。

 

【例題】順列

(1) \(_6 \mathrm{P} _3\) を計算せよ

(2) \(5!\) を計算せよ

 

単純な計算問題なので、両方とも正解したいですね。

では、解説していきます。

 

【解説】順列

(1) \(_6 \mathrm{P} _3\) を計算せよ

\(\\\)

\begin{eqnarray}
_6 \mathrm{P} _3 &=& 6\cdot 5\cdot 4 \\
&=& 120
\end{eqnarray}

\(\\\)

(2) \(5!\) を計算せよ

\(\\\)

\begin{eqnarray}
5! &=& 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \\
&=& 120
\end{eqnarray}

 

どうでしたか?

計算自体は、かなり簡単ですよね。

何回も計算して、短時間でも求められるようにしておきましょう。

 

階乗(1~7)

\begin{equation}
1!=1
\end{equation}

\begin{equation}
2!=2
\end{equation}

\begin{equation}
3!=6
\end{equation}

\begin{equation}
4!=24
\end{equation}

\begin{equation}
5!=120
\end{equation}

\begin{equation}
6!=720
\end{equation}

\begin{equation}
7!=5040
\end{equation}

 

7! まで暗記しておくと、計算が非常に楽になるので、余裕がある人はぜひ覚えてみてください。

 

まとめ:場合の数の基礎の基礎

どうでしたか?

今回は、場合の数の基礎の基礎として、場合の数の基本的な攻略方法と、順列の計算方法について説明していきました。

本記事のおさらいを確認しておきます。

 

本記事のおさらい

  • 場合の数とは
  • 場合の数の攻略【基礎】
  • 場合の数の攻略①:和の法則
  • 場合の数の攻略②:積の法則
  • 場合の数の攻略③:余事象
  • 場合の数での計算【順列】
  • まとめ:場合の数の基礎の基礎

 

本記事の内容は、場合の数の基礎なので、もう一度見直しておきましょう。

基礎ができていないと、場合の数でほとんど点が取れなくなります。

逆に基礎ができていると、「場合の数」で点が取れて、「確率」も得意分野にできます。

それくらい基礎が大事なので、本記事で基礎を定着させましょう。

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