場合の数 数学A

【場合の数】同じものを含む順列、一定の順序を含む順列、最短経路の順列を解説します

じゅじゅ
高校数学Aの「場合の数」で出てくる「同じものを含む順列」や「最短経路」の問題は、ややこしいですよね。

 

本記事を読めばわかること

  • 「同じものを含む順列」の考え方 / 解き方
  • 「一定の順序を含む順列」の考え方 / 解き方
  • 「最短経路の順列」の考え方 / 解き方

せっかく理解して覚えた「順列」や「組合せ」の公式を使って、正解したいですよね。

「同じものを含む順列」「一定の順序を含む順列」に関しては、入試でよく出題される問題となっています。

また、「同じものを含む順列」や「一定の順序を含む順列」は「確率」の範囲でも使うので、高得点を取るには、マスター必須となります。

そこで、本記事では、「同じものを含む順列」や「一定も順序を含む順列」、「最短経路の順列」の考え方や解き方を例題付きで解説していきます。

「同じものを含む順列」や「一定も順序を含む順列」、「最短経路の順列」で点を落としたくない人は、ぜひ最後まで読んでみてください。

 

場合の数:同じものを含む順列

じゅじゅ
ここでは、「同じものを含む順列」の考え方や解き方について説明していきます。

公式の意味や例題を使って解き方を説明するので、ぜひマスターしてくださいね。

 

「同じものを含む順列」の公式と意味

じゅじゅ
ここでは、「同じものを含む順列」の公式と公式の意味を説明していきます。

 

【公式】同じものを含む順列

同じものが \(a\) 個、 \(b\) 個、 \(c\) 個ずつあり、全部で \(n\) 個あるとき、 \(n\) 個を全て並べる順列の総数は、

\(\\\)

\begin{equation}
\Large\frac{n!}{a!b!c!}
\end{equation}

\(\\\)

表せる

 

じゅじゅ
この公式は覚えなくてもいいですが、後で説明する考え方はしっかりと理解してくださいね。

 

「同じものを含む順列」の意味

「同じものを含む順列」は、区別しない場合の順列

 

「同じものを含む順列」は、区別しない場合の順列 であるということを理解してください。

まだ少しわかりにくいので、具体的な例を使って説明していきます。

 

【考え方】同じものを含む順列

下図のように、赤玉4個と青玉2個を並べることを考えましょう。

\(\\\)

\(\\\)

結論から言うと、上図のように赤玉4個、青玉2個の並べ方は、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{6!}{4!2!}=15\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

\(\\\)

じゅじゅ
なぜ、15通りになるのか、考え方を説明していきますね。

\(\\\)

赤玉4個と青玉2個を並べるとき、赤玉4個を先に並べると、残った青玉2個の並べ方は自動的に決まります。

逆に、青玉2個を先に並べても、残った赤玉4個の並べ方は自動的に決まってしまいます。

そのため、赤玉4個、青玉2個の6個の玉から赤玉4個を取り出すのと同じになるので

\(\\\)

\begin{equation}
_6 \mathrm{C} _4=_6 \mathrm{C} _2=15\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

になります。

\(\\\)

じゅじゅ
わかりにくい人のために、別の考え方を紹介します。

\(\\\)

まず、下図のように玉を区別して考えます。

\(\\\)

\(\\\)

全ての玉を区別したとき、6個の玉の並べ方総数は、 \(6!\) 通りになります。

また、赤玉4個を区別して並べたときの並べ方の総数は、 \(4!\) 通りになり、青玉2個を区別して並べたときの並べ方の総数は、 \(2!\) 通りになります。

でも、実際は赤玉4個、青玉2個を区別せずに考えないといけないですよね。

つまり、全体の並べ方の \(6!\) 通りから、赤玉の並べ方の \(4!\) 通りと、青玉の並べ方の \(2!\) 通りで割らないといけません。

これを式で表すと

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{6!}{4!2!}=15\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

 

どうでしたか?

「同じものを含む順列」の考え方のポイントは次の通りです。

 

同じものを含む順列のポイント

すべて区別して1列に並べたあと、重複している数を割れば良い

 

じゅじゅ
結局、区別して考えてから、区別しないパターンを考えているだけですね。
では、例題を通して、「同じものを含む順列」を理解しましょう。

 

【例題】同じものを含む順列

じゅじゅ
ここでは、例題で「同じものを含む順列」を理解していきます。

 

【例題】同じものを含む順列

下図のような、9個の玉(赤玉3個、青玉2個、白玉4個)の並べ方は何通り?ただし、同じ色の玉は区別しないとする。

\(\\\)

\(\\\)

 

じゅじゅ
今度は、玉が3つになりましたが、考え方は全く同じです。
では解説していきます。

 

【解説】同じものを含む順列

9個の玉(赤玉3個、青玉2個、白玉4個)の並べ方は何通り?ただし、同じ色の玉は区別しないとする。

\(\\\)

全ての玉を区別して考えると、9個の玉を1列に並べるときの総数は

\(\\\)

\begin{equation}
9!\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となります。

また、赤玉3個を1列に並べたときの総数、青玉2個を1列に並べたときの総数、白玉4個を1列に並べたときの総数は、それぞれ,、

\(\\\)

\begin{equation}
赤: 3!\ 通り
\end{equation}

\begin{equation}
青: 2!\ 通り
\end{equation}

\begin{equation}
白: 4!\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となりますね。

よって、求める場合の数は、それぞれの色の玉を区別せずに考えるので、

\(\\\)

\begin{eqnarray}
\frac{9!}{3!2!4!} &=&\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \\
&=& 1260\ 通り
\end{eqnarray}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
どうでしたか?
もう一度言いますが、やっていることは、まず、区別して考えて、そのあとに重複して数えたものを割っているだけです。
間違えた人は、もう1回理解して解いてみましょう。
次は、「一定の順序を含む順列」について説明していきます。

 

場合の数:一定の順序を含む順列

じゅじゅ
ここでは、「一定の順序を含む順列」の考え方、解き方について解説していきます。

 

【考え方】一定の順序を含む順列

順序が決まっているものを同じもをと見なすことで、「同じものを含む順列」に帰着させる

 

じゅじゅ
結果的に考え方は、「同じものを含む順列」と同じなので、例題を通して理解していきましょう。

 

【例題】一定の順序を含む順列

「d r e a m e r」の7文字の文字列を並べてできる文字列のうち、「d a m」 がこの順に並ぶ場合の数は何通り? 

 

じゅじゅ
「d a m」の文字の順番が決められているので、「『一定の順序を含む』順列」となるわけですね。
問題を解くコツは、「『同じものを含む順列』に帰着させること」です。
では、解説していきます。

 

【解説】一定の順序を含む順列

「d r e a m e r」の7文字の文字列を並べてできる文字列のうち、「d a m」 がこの順に並ぶ場合の数は何通り? 

\(\\\)

問題を解くコツは

\(\\\)

順序が決まっているものを同じもをと見なすことで、「同じものを含む順列」に帰着させる

\(\\\)

でしたね。

\(\\\)

つまり、下図のように考えます。

\(\\\)

\(\\\)

「d a m」をそれぞれ「X」と置いて考えています。

この変換作業により、「同じものを含む順列」に帰着させることができ、「X r e X X e r」の並べ方の総数を求めれば良いことがわかります。

よって、「X r e X X e r」は「X」が3個、「r」が2個、「e」が2個の文字列なので、求める場合の数は、

\(\\\)

\begin{eqnarray}
\frac{7!}{3!2!2!} &=& \frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1} \\
&=& 210\ 通り
\end{eqnarray}

\(\\\)

となります。

 

じゅじゅ
例題のように、最終的に、「同じものを含む順列」に帰着できましたね。
でも、「なぜ、同じ文字に置き換えても良いのだろうか?」って思いますよね。
なので、「同じ文字に置き換えても良い理由」を説明していきます。

 

同じ文字に置き換えても良い理由

先程の例題をもとに考えます。

\(\\\)

例題は、『「d r e a m e r」の7文字の文字列を並べてできる文字列のうち、「d a m」 がこの順に並ぶ場合の数は何通り? 』でしたね。

\(\\\)

「『d a m』がこの順に並ぶ』ということは、「d」と「a」と「m」の順番はもうすでに決まっています。

「m d a」や「d m a」の順ではダメだということですよね。

つまり、「d」、「a」、「m」の3文字を並び替えても、「d a m」の順になるのは1通りだけです。

そのため、 「『d』、『a』、『m』の3文字の並べ方は考えなくても良い」ということになります。

これは、「『d』、『a』、『m』を区別して考えなくても良い」と同じ意味です。

だから、「d」、「a」、「m」をそれぞれ同じ文字にみなして、「同じものを含む順列」に帰着させることができます。

 

じゅじゅ
「順番が指定されている」 ⇒ 「1通りしかないから、同じ文字にみなせる」 ⇒ 「区別しなくても良い」 ⇒ 「『同じものを含む順列』に帰着」という流れですね。

次は、「最短経路の順列」について説明していきます。

 

場合の数:最短経路の順列

じゅじゅ
ここでは、「最短経路の順列」についての考え方や解き方を解説していきます。

 

【考え方】最短経路の順列

「最短経路の順列」=「同じものを含む順列」

 

上にも書いたように、「最短経路の順列」は「同じものを含む順列」と同じ考え方です。

実際に例題を使って説明していきますね。

 

【例題】最短経路を含む順列

下図のような経路がある。AからBまで行く経路の総数は?

\(\\\)

 

じゅじゅ
経路の問題では、基本的な解き方が決まっているので、解きやすい問題になっています。
では、解説していきます。

 

【解説】最短経路の順列

下図のような経路がある。AからBまで行く経路の総数は?

\(\\\)

\(\\\)

下図を見てください。

\(\\\)

\(\\\)

AからBまで行くのに、どの経路を使っても、横方向に5回、縦方向に4回の全部で9回進まないといけません。

つまり、9回進むうち、横に5回、縦に4回、ランダムで進めば良いことになりますね。

⇒ 「→ → → → → ↑ ↑ ↑ ↑ 」という記号の並べ方の総数を求めれば良いですよね。

よって、

\(\\\)

\begin{eqnarray}
\frac{9!}{5!4!} &=& \frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \\
&=& 126\ 通り
\end{eqnarray}

\(\\\)

になります。

 

じゅじゅ
例題のように、「最短経路の順列」も最終的に「同じものを含む順列」に帰着させることができましたね。

 

まとめ:「同じものを含む順列」は重要

じゅじゅ
どうでしたか?
「同じものを含む順列」、「一定の順序を含む順列」、「最短経路の順列」の考え方と解き方を説明しました。

 

本記事の内容を下にまとめておきます。

 

本記事のおさらい

  • 場合の数:同じものを含む順列
  • 「同じものを含む順列」の公式と意味
  • 【例題】同じものを含む順列
  • 場合の数:一定の順序を含む順列
  • 場合の数:最短経路の順列
  • まとめ:「同じものを含む順列」

 

「一定の順序を含む順列」も「最短経路の順列」も最終的には、「同じものを含む順列」に帰着させることができました。

つまり、「同じものを含む順列」さえ理解しておけば、場合の数で高得点を十分に狙えます。

「同じものを含む順列」は必ずマスターさせましょう。

じゅじゅ
「同じものを含む順列」はめちゃめちゃ大事です。

 

「順列」や「組合せ」がよくわからない方は、下の記事を読んで、理解を深めてください。

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