数学A 確率

【確率の基礎】反復試行とは?例題付きでわかりやすく解説します

この記事でわかること

  • 反復試行とは?
  • 反復試行の公式
  • 反復試行を使った問題の理解

 

こんにちは。じゅじゅです。

高校数学Aの確率を勉強している皆さんは、反復試行がわからなくて悩んだことはありませんか?

確率の反復試行は、大学入試でもよく出題されます。

反復試行が理解できないと、確率の応用問題を解ききることはできません。

そこでこの記事では、反復試行の基礎や考え方をわかりやすく解説していきます。

また、反復試行を用いた例題も用意しています。

反復試行に苦手意識を持っている方や、反復試行をこれから勉強する人は、ぜひ最後まで読んでみてください。

 

反復試行とは?

じゅじゅ
ここでは、反復試行の公式や考え方について解説していきます。

反復試行は、漢字を見ると難しそうなイメージを持たれがちですが、意外と単純な試行です。

まずは、反復試行の公式について解説していきます。

 

反復試行の公式

じゅじゅ
最初は、反復試行の公式について説明していきます。

反復試行の公式

確率 \(p\) で成功するような試行を独立に \(n\) 回反復して行ったとき、 \(n\) 回のうち、 \(k\) 回成功する確率は、

\begin{equation}
_n\mathrm{C}_k\ p^k(1-p)^{n-k}
\end{equation}

と表される。

言葉で書くと、正直わかりにくいですよね。

ちなみに、反復試行の公式を覚える必要はありません。

試行や独立という数学ならではの単語が出てきていますが、無視していても大丈夫です。

反復試行の考え方を理解しておけば、公式を覚えてなくても、自動的に公式を作れるようになります。

そこで、反復試行の考え方を例を用いて解説していきます。

 

反復試行の考え方

じゅじゅ
反復試行の考え方を解説していきます。

反復試行は「反復」して「試行」するということです。

つまり言い換えると「同じ条件で反復して試行する」ことです。

もっと言い換えると「何回も同じ動作をして確率を求める」ことです。

反復試行での繰り返しのイメージは、下図のようになります。

 

 

上の図のように、サイコロを5回投げるのであれば、サイコロを投げる動作を5回連続で行うことを意味します。

つまり、同じ条件で同じ動作を何回もしていることになりますね。

最後に反復試行の考え方をまとめると次のようになります。

【ポイント】反復試行の考え方

同じ条件で同じ動作を繰り返す⇒各回の試行は独立⇒普通に掛け算で求められる

じゅじゅ
反復試行の考え方をおさえた上で、次は反復試行の例題を紹介します。
例題を解いて反復試行の理解を深めていきましょう。

 

反復試行の例題

じゅじゅ
反復試行の例題を紹介します。

反復試行を用いた例題を2問用意しているので、例題を解いて反復試行の基礎を完成させましょう。

【例題】反復試行

(1)サイコロを3回投げる時、2の倍数の目がちょうど2回出る確率は?

(2)サイコロを5回投げる時、2の倍数の目が4回以上出る確率は?

じゅじゅ
両方、似たような問題ですね。
つまり、同じ解き方で解けるということです。

では、(1)から順番に解説していきます。

 

【解説】反復試行の例題(1)

(1)サイコロを3回投げる時、2の倍数の目がちょうど2回出る確率は?

\(\\\)

この反復試行の問題を図で表すと下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

上の図より、1回目から3回目のなかで2回だけ2の倍数の目が出れば良いことがわかります。

そこで、2の倍数は2、4、6なので、サイコロを1回投げて2の倍数が出る確率は、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\end{equation}

\(\\\)

である。

また、2の倍数以外の目が出るのは、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

さらに、3回中2回だけ2の倍数の目が出れば良いので、何回目に2の倍数が出るのかを考えると、

\(\\\)

\begin{equation}
_3\mathrm{C}_2=3\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となる。

以上より、求める確率は、3回中2回だけ2の倍数が出て、2の倍数が出る確率が2回、それ以外の目が出る確率が1回であるので、

\(\\\)

\begin{equation}
3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

 

じゅじゅ
次に反復試行の例題(2)の解説をしていきます。

 

【解説】反復試行の例題(2)

(2)サイコロを5回投げる時、2の倍数の目が4回以上出る確率は?

\(\\\)

4回以上2の倍数が出れば良いので、2の倍数が4回出た時と、5回出た時で分けて考える必要がありますね。

\(\\\)

(ⅰ)2の倍数が4回出た時

サイコロを1回投げた時、2の倍数の目が出る確率は、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

また、サイコロを1回投げた時、2の倍数以外の目が出る確率は、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\end{equation}

\(\\\)

である。

さらに5回投げた時、合計で4回2の倍数が出れば良いので、2の倍数が出る回数の場合の数は、

\(\\\)

\begin{equation}
_5\mathrm{C}_4=5\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となる。

以上より、2の倍数の目が4回出る確率は、

\(\\\)

\begin{equation}
5\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{32}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

\(\\\)

(ⅱ)5回とも2の倍数の目が出る時

すべて2の倍数が出る確率は、

\(\\\)

\begin{equation}
\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{32}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

\(\\\)

したがって、(ⅰ)(ⅱ)より、求める確率は、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{5}{32}+\frac{1}{32}=\frac{6}{32}=\frac{3}{16}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

 

じゅじゅ
どうでしたか?
2問の反復試行の例題では、同じ条件で同じ動作をして確率を求めました。
基本的に反復試行の求め方は、この例題と同じです。
間違えた人はもう1回解いてみましょう。

 

まとめ:反復試行は同じ動作の繰り返し

じゅじゅ
いかがだったでしょうか。
この記事では「反復試行とは?」について解説しました。
また、反復試行の公式や考え方も同時に紹介しました。
最後に、反復試行のまとめを書いておきます。

この記事のまとめ

  • 反復試行とは、同じ条件で反復して試行すること
  • 反復試行の公式は覚える必要はない
  • 反復試行の考え方は理解すべき
じゅじゅ
反復試行は、難関大ほど数列などと組み合わせて出題してきます。
つまり、反復試行の基礎を理解していないと、手も足も出ません。
そのため、この記事で反復試行をしっかりと理解して、反復試行の基礎をマスターさせましょう。

 

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