数学A 確率

【確率の基礎】排反・和事象ってなに?例題付きでわかりやすく解説します

この記事でわかること

  • 確率の基本的な考え方とは
  • 排反についてのイメージ
  • 和事象についてのイメージ

高校数学Aでは「確率」を学習します。

確率は中学でも学習しましたが、高校数学の確率はもっと複雑な問題が出てきます。

また確率は、共通テストでも、大学入試でも超頻出単元なので、しっかりと理解をする必要があります。

そこでこの記事では「確率の基本的な考え方や、排反・和事象」についてわかりやすく解説していきます。

例題も何問か用意していますので、確率が苦手な人は要チェックです。

 

確率の公式

じゅじゅ
確率の公式について解説していきます。

高校数学で学習する確率の公式は、中学の時と同じです。

確率の公式は次のようになります。

確率の公式

\begin{equation}
P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}=\frac{事象Aが起こる数}{起こりうる全ての数}
\end{equation}

上の確率の公式を見るとわかりますが、基本的に全体の場合の数と、事象Aの場合の数を求めるだけで算出できますね。

じゅじゅ
では、次に確率の基礎的な例題で確認していきましょう。

 

確率の例題【基礎】

じゅじゅ
ここでは、確率の基礎的な例題を紹介します。
2問用意しているので、確率の基礎がわからない人は、ぜひ解いてみてください。

【例題】確率の基礎

(1)1~5の数字から異なる3個の数字を選び、3桁の数字を作るとき、奇数である確率は?

(2)1~7の数字が書かれたカードが7枚ある。この中から2枚同時に取り出す時、2枚ともが偶数である確率は?

じゅじゅ
よくある基本的な問題です。
これくらいの問題であれば、樹形図を描いて求められますが、高校数学の確率では計算がメインなので、樹形図を使わずに求めていきます。

【解説】確率の基礎(1)

1~5の数字から異なる3個の数字を選び、3桁の数字を作るとき、奇数である確率は?

\(\\\)

まずは1~5の数字から異なる3個の数字をつくる場合の数を求めていきましょう。

1~5の数字から異なる3個の数字をつくる場合の数を求める時のイメージは、下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

上の図より、1~5の数字から異なる3個の数字をつくる場合の数は、

\(\\\)

\begin{equation}
_5\mathrm{P}_3=5\cdot 4\cdot 3=60\ \rm{通り}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

次に、この中から奇数である場合の数を求める。

求め方のイメージとしては、下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

すなわち、

\(\\\)

\begin{equation}
_4\mathrm{P}_\cdot 3=36\ \rm{通り}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

以上より、求める確率は、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{36}{60}=\frac{3}{5}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

 

じゅじゅ
次に(2)を解説していきます。

 

【解説】確率の基礎(2)

(2)1~7の数字が書かれたカードが7枚ある。この中から2枚同時に取り出す時、2枚ともが偶数である確率は?

\(\\\)

まず、1~7枚のカードを2枚同時に取り出す時の場合の数を考える。

このとき、

\(\\\)

\begin{equation}
_7\mathrm{C}_2=\frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}=21\ \rm{通り}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

この中から2枚とも偶数である場合の数は、「2、4、6」の中から2枚取り出せば良いので、

\(\\\)

\begin{equation}
_3\mathrm{C}_2=\frac{3\cdot 2}{2\cdot 1}=3\ \rm{通り}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

以上より、求める確率は、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{3}{21}=\frac{1}{7}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

じゅじゅ
どうでしたか?
確率の問題を解く時にやっていることは、基本的に「全体の場合の数と事象の場合の数を求めている」だけです。
「P」や「C」の意味や使い方がわからない人は、次の記事をみてよく理解してください。

 

じゅじゅ
次は、確率でよく出てくる「排反」「和事象」について解説していきます。

 

確率で使う排反・和事象とは?

じゅじゅ
ここでは、高校数学の確率を解く時によく出てくる「排反」や「和事象」について解説します。

「排反」と「和事象」のイメージ

  • 「排反」⇒ 共通部分をもたない
  • 「和事象」⇒ 共通部分をもつ

排反と和事象は簡単に言うと、上のように言えます。

排反と和事象について、もっと具体的に解説していきます。

 

排反とは?

じゅじゅ
まずは排反について解説します。

排反は共通部分を持ちません。

そのため、全体の事象Uの領域、事象Aの領域、事象B領域を考えると、排反は下図のようになります。

 

 

 

上図を確率として考えて、起こりうる全ての確率を P(U) 、事象Aが起こる確率を P(A) 、事象Bが起こる確率を P(B) とすると、

\begin{equation}
P(A\cup B)=P(A)+P(B)
\end{equation}

のように表せます。

すなわち、排反では、事象Aまたは、事象Bが起こる確率は、事象Aの確率と事象Bの確率の和で表されます。

要するに、Aの領域とBの領域の和ですね。

ちなみに「または」を文字で表すと、\(\cup\) 、「かつ」を文字で表すと、\(\cap\) となります。

じゅじゅ
次に和事象について解説します。

 

和事象とは?

じゅじゅ
ここでは、和事象について説明します。

和事象は、排反と違って共通部分があります。

そのため、排反の時と同様に、全体の事象Uの領域、事象Aの領域、事象B領域、事象Aと事象Bが両方あるCの領域を考えると、和事象は下図のようになります。

 

 

上図を確率として考えて、起こりうる全ての確率を P(U) 、事象Aが起こる確率を P(A) 、事象Bが起こる確率を P(B) 、とすると、

\begin{equation}
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
\end{equation}

のように表せます。

すなわち、和事象では、事象Aまたは、事象Bが起こる確率は、事象Aの確率と事象Bの確率の和と事象Aと事象Bが両方起こる確率の差で表されます。

要するにAの領域とBの領域の和からCの領域を引いたものですね。

じゅじゅ
排反は「共通部分がないもの」、和事象は「共通部分があるもの」として覚えておきましょう。

次は、排反と和事象を使った例題を紹介します。

 

排反・和事象の例題

じゅじゅ
ここでは、排反と和事象の考え方を使った問題を紹介します。

例題は、排反の問題1問と和事象の問題1問を用意しています。

排反と和事象を問題を解いて理解した人は、ぜひ解いてみてください。

【例題】排反と和事象

(1)赤玉4個、青玉5個入っている箱から3個同時に取り出す。このとき3個の玉が全て同じ色になるときの確率は?

(2)1~50までの数字が1つずつ書かれた50枚のカードがある。この中から1枚のカードをランダムに選ぶとき、書かれたカードの数字が2の倍数または5の倍数である確率は?

(1)が排反の問題で、(2)が和事象の問題ですね。

では、それぞれ解説していきます。

【解説】排反と和事象(1)

(1)赤玉4個、青玉5個入っている箱から3個同時に取り出す。このとき3個の玉が全て同じ色になるときの確率は?

\(\\\)

まず9個の玉から3個の玉を取り出す場合の数を求める。

9個の玉から3個の玉を取り出す場合の数は、

\(\\\)

\begin{equation}
_9\mathrm{C}_3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84\ \rm{通り}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

ここで、3個の玉が同じ色になるときを考えると、赤玉3個の場合と青玉3個の2パターンあることがわかります。

ゆえに、赤玉3個と青玉3個の場合で分けて考える必要があります。

\(\\\)

(ⅰ)赤玉3個のとき

赤玉は全部で4個あり、この中から3個の赤玉を選べばよいので、

\(\\\)

\begin{equation}
_4\mathrm{C}_3=4\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となる。

\(\\\)

(ⅱ)青玉3個の時

青玉は全部で5個あり、この中から3個の青玉を選べばよいので、

\(\\\)

\begin{equation}
_5\mathrm{C}_3=10\ 通り
\end{equation}

\(\\\)

となる。

以上より、求める確率は、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{4}{84}+\frac{10}{84}=\frac{14}{84}=\frac{1}{6}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

 

じゅじゅ
次に(2)を解説していきます。

 

【解説】排反と和事象(2)

(2)1~50までの数字が1つずつ書かれた50枚のカードがある。この中から1枚のカードをランダムに選ぶとき、書かれたカードの数字が2の倍数または5の倍数である確率は?

\(\\\)

この問題のイメージとしては下図のようになります。

\(\\\)

\(\\\)

上の図より、2の倍数と5の倍数の確率の和から、10の倍数の確率を引けば良いことがわかります。

そこでまずは2の倍数から考えていきます。

\(\\\)

(ⅰ)2の倍数の確率について

1~50の数字の中で2の倍数は、50÷2=25個ある。

よって、2の倍数である確率は、

\(\\\)

\(\frac{25}{50}\)

\(\\\)

である。

\(\\\)

(ⅱ)5の倍数の確率について

1~50の数字の中で5の倍数は、50÷5=10個ある。

よって、5の倍数である確率は、

\(\\\)

\(\frac{10}{50}\)

\(\\\)

である。

\(\\\)

(ⅲ)10の倍数の確率について

1~50の数字の中で10の倍数は、50÷10=5個ある。

よって、10の倍数である確率は、

\(\\\)

\(\frac{5}{50}\)

\(\\\)

である。

\(\\\)

以上より、求める確率は、

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{25}{50}+\frac{10}{50}-\frac{5}{50}=\frac{3}{5}
\end{equation}

\(\\\)

となる。

 

じゅじゅ
どうでしたか?
排反は「共通にならないもの」、和事象は「共通になるもの」になったことが確認できたと思います。
「排反」と「和事象」の考え方はこれからも普通に出てくるので、完璧に理解しておいてください。

 

まとめ:確率の定義や排反・和事象は完璧に理解しよう

じゅじゅ
この記事では「確率の基礎と排反・余事象の考え方」についてわかりやすく解説しました。
いかがだったでしょうか?
確率では、これからも普通に排反と和事象の考え方を使うので、排反と和事象の理解は必須です。
最後にこの記事のまとめを書いておきます。

この記事のまとめ

  • 確率の公式は、基本的に中学と同じ
  •  排反とは、共通部分を持つもの
  • 和事象とは、共通部分を持たないもの
じゅじゅ
確率は図を描くことが大事です。
排反と和事象はこれからもずっと出てきます。
そのため、排反と和事象はこの記事で必ずマスターしておいてください。

【無料】オリジナルテキストをプレゼントします

僕は受験生の時、D判定から逆転合格し、最終的に数学の偏差値を65まで伸ばしました。

 

しかし、これはもともと数学が得意だったわけではなく、ある勉強方法を意識しながら、ただ単に勉強したからです。

 

僕が行った勉強方法をオリジナルテキストにまとめました。

この勉強方法は、誰でも簡単に実践できますし、塾の生徒にも同じやり方で指導しています。

また、この勉強方法をマスターすれば応用問題を解く力が自然と身に付きます。

無料で配布中です!

➤➤ 詳しくはこちらをクリック

-数学A, 確率
-, , , ,

Copyright© 大学受験数学パス , 2021 All Rights Reserved Powered by AFFINGER5.