三角関数 数学Ⅱ

三角関数の半角・2倍角・3倍角・和積・積和の公式を伝授します

高校数学2で学習する「三角関数」ではさまざまな公式が出てきます。

その公式を1つ1つ暗記していたら頭がパンクします。

実際、三角関数で出てくる公式のほとんどは「加法定理」から導出できます。

つまり、加法定理の公式さえ覚えてしまえば、他の公式を覚える必要はなくなります。

時間短縮のために覚える方が良い公式もありますが.....

そこで、今回は「加法定理」を使って

導出する公式

  • 半角の公式
  • 2倍角の公式
  • 3倍角の公式
  • 和積の公式
  • 積和の公式

の導出方法を伝授します。

この導出をできれば三角関数で公式を覚える数は圧倒的に減ります。

一緒に三角関数を克服しましょう。

加法定理の汎用性とおさらい

この図を見てください。

加法定理から「2倍角」「3倍角」「積和・和積」「負角・補角・余角」の公式を導出でき

「半角」は「2倍角」から導出できます。

負角・補角・余角の公式がわからない人は

➤➤三角関数の基礎を伝授します【2】でマスターしてください。

\(\\\)

加法定理

\(\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin \beta\)

\(\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha\cos \beta-\cos \alpha\sin \beta\)

\(\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha\cos \beta-\sin \alpha\sin \beta\)

\(\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha\cos \beta+\sin \alpha\sin \beta\)

\(\tan (\alpha+\beta)=\Large\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}\)

\(\tan (\alpha-\beta)=\Large\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha\tan \beta}\)

上の加法定理を使ってこれから導出していきます。

この加法定理は絶対に覚えてください。

すらすら口で言えるように暗記しましょう。

加法定理の導出方法➤➤三角関数の加法定理を伝授します

【導出】2倍角の公式

2倍角の公式

\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha\)

\(\cos 2\alpha=\cos ^2\alpha-\sin ^2\alpha=1-2\sin ^2\alpha=2\cos ^2\alpha-1\)

\(\tan \alpha=\Large\frac{2\tan \alpha}{1-\tan ^2\alpha}\)

上の公式を「2倍角の公式」もしくは「倍角の公式」と呼びます。

2倍角の公式はよく出てくるので自然に覚えると思いますが

加法定理を使って導出してみます。

2倍角の公式の導出 sin 2α

\begin{eqnarray}
\sin 2\alpha &=& \sin (\alpha+\alpha) \\
&=& \sin \alpha\cos \alpha+\cos \alpha\sin \alpha \\
&=& 2\sin \alpha\cos \alpha
\end{eqnarray}

\(\\\)

2倍角の公式の導出 cos 2α

\begin{eqnarray}
\cos 2\alpha &=& \cos (\alpha+\alpha) \\
&=& \cos \alpha\cos \alpha-\sin \alpha\sin \alpha \\
&=& \cos ^2\alpha-\sin ^2\alpha \\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\cos 2\alpha &=& \cos ^2\alpha-\sin ^2\alpha \\
&=& \cos ^2\alpha-(1-\cos ^2\alpha) \\
&=& 2\cos ^2\alpha-1 \\
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\cos 2\alpha &=& \cos ^2\alpha-\sin ^2\alpha \\
&=& (1-\sin ^2\alpha)-\sin ^2\alpha \\
&=& 1-2\sin ^2\alpha
\end{eqnarray}

\(\\\)

2倍角の公式 tan 2α

\begin{eqnarray}
\tan 2\alpha &=& \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \\
&=& \frac{2\sin \alpha\cos \alpha}{\cos ^2\alpha-\sin ^2\alpha} \\
&=& \frac{2\Large\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1-\Large\frac{\sin ^2\alpha}{\cos ^2\alpha}} \\
&=& \frac{2\tan \alpha}{1-\tan ^2\alpha}
\end{eqnarray}

以上のように加法定理を用いて2倍角の公式を導出できました。

何をやって導出しているのかを理解して

もう一度自分で導出してみてください。

【導出】半角の公式

半角の公式

\begin{equation}
\sin ^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
\cos ^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
\tan ^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}
\end{equation}

ここで半角の公式について説明します。

半角の公式は2倍角の公式から導出できます。

というわけで2倍角の公式を使って半角の公式を導出していきます。

半角の公式の導出 sin

\begin{equation}
\cos 2\theta=1-2\sin ^2\theta
\end{equation}

\(\\\)

となります。これより

\(\\\)

\begin{eqnarray}
2\sin ^2\theta &=& 1-\cos 2\theta \\
⇔ \sin ^2\theta &=& \frac{1-\cos 2\theta}{2} \\
\end{eqnarray}

\(\\\)

ここで \(\theta=\Large\frac{\alpha}{2}\) とすると

上の式は

\(\\\)

\begin{eqnarray}
\sin ^2\frac{\alpha}{2} &=& \frac{1-\cos 2\Large\frac{\alpha}{2}}{2} \\
&=& \frac{1-\cos \alpha}{2}
\end{eqnarray}

\(\\\)

となり、半角の公式を求めることができました。

\(\\\)

半角の公式の導出 cos

\begin{eqnarray}
\cos 2\theta &=& 2\cos ^2\theta-1 \\
⇔ 2\cos ^2\theta &=& \cos 2\theta+1 \\
⇔ \cos ^2\theta &=& \frac{1+\cos 2\theta}{2}
\end{eqnarray}

\(\\\)

となります。

ここで \(\theta=\Large\frac{\alpha}{2}\) とすると

\(\\\)

\begin{eqnarray}
\cos ^2\frac{\alpha}{2} &=& \frac{1+\cos 2\Large\frac{\alpha}{2}}{2} \\
&=& \frac{1+\cos \alpha}{2}
\end{eqnarray}

\(\\\)

となり、半角の公式を求められました。

\(\\\)

半角の公式の導出 tan

\begin{eqnarray}
\tan ^2\frac{\alpha}{2} &=& \frac{\sin ^2\Large\frac{\alpha}{2}}{\cos ^2\Large\frac{\alpha}{2}} \\
&=& \frac{\Large\frac{1-\cos \alpha}{2}}{\Large\frac{1+\cos \alpha}{2}} \\
&=& \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}
\end{eqnarray}

\(\\\)

となり、半角の公式を求められました。

半角の公式は加法定理から直接求めることはできないですが

2倍角の公式から導けるので、加法定理さえ覚えておけば半角の公式も導出できますね。

【導出】3倍角の公式

3倍角の公式

\(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin ^3\alpha\)

\begin{equation}
\cos 3\alpha=-3\cos \alpha+4\cos ^3\alpha
\end{equation}

次に3倍角の導出について説明します。

3倍角の公式はほとんど使わないと思います。

たまーに出るので導出方法だけでも確認しておくと良いですよ。

ちなみに \(\tan 3\alpha\) は見たことがないので省略しておきます。

では導出していきます。

3倍角の公式の導出 sin 3α

\begin{eqnarray}
\sin 3\alpha &=& \sin (2\alpha+\alpha) \\
&=& \sin 2\alpha\cos \alpha+\cos 2\alpha\sin \alpha \\
&=& 2\sin \alpha\cos ^2\alpha+(1-2\sin ^2\alpha)\sin \alpha \\
&=& 2\sin \alpha(1-\sin ^2\alpha)+\sin \alpha-2\sin ^3\alpha \\
&=& 2\sin \alpha-2\sin ^3\alpha+\sin \alpha-2\sin ^3\alpha \\
&=& 3\sin \alpha-4\sin ^3\alpha
\end{eqnarray}

\(\\\)

3倍角の公式の導出 cos 3α

\begin{eqnarray}
\cos 3\alpha &=& \cos (2\alpha+\alpha) \\
&=& \cos 2\alpha\cos \alpha-\sin 2\alpha\sin \alpha \\
&=& (2\cos ^2\alpha-1)\cos \alpha-2\sin ^2\alpha\cos \alpha\\
&=& 2\cos ^3\alpha-\cos \alpha-2(1-\cos ^2\alpha)\cos \alpha \\
&=& 2\cos ^3\alpha-\cos \alpha-2\cos \alpha+2\cos ^3\alpha \\
&=& -3\cos \alpha+4\cos ^3\alpha
\end{eqnarray}

以上より、3倍角の公式も加法定理から導出できました。

この公式の導出は加法定理使えないかなー?

ってくらいの感覚で十分です。

【導出】積和の公式

積和の公式

\begin{equation}
① \sin \alpha\cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\}
\end{equation}

\begin{equation}
② \cos \alpha\sin \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)\}
\end{equation}

\begin{equation}
③ \cos \alpha\cos \beta=\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)\}
\end{equation}

\begin{equation}
④ \sin \alpha\sin \beta=-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)\}
\end{equation}

この積和の公式を丸暗記するのはきついですよね。

数Ⅲの積分でよく出てくるので特に理系の人は導出できるようにしましょう。

慣れれば加法定理を使って10秒くらいで導出できるようになるので

一緒に導出方法をマスターしていきましょう。

積和の公式の導出①&②

\begin{equation}
\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin \beta ・・・(1)
\end{equation}

\begin{equation}
\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha\cos \beta-\cos \alpha\sin \beta ・・・(2)
\end{equation}

\(\\\)

(1)+(2)より

\(\\\)

\begin{equation}
\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)=2\sin \alpha\cos \beta
\end{equation}

\(\\\)

となります。よってこの式を2で割ると

\(\\\)

\begin{equation}
\sin \alpha\cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\}
\end{equation}

\(\\\)

となり、①の式を求められます。

次に②の式を導出します。

(1)ー(2)より

\(\\\)

\begin{equation}
\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)=2\cos \alpha\sin \beta
\end{equation}

\(\\\)

となります。よってこの式を2で割ると

\(\\\)

\begin{equation}
\cos \alpha\sin \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)\}
\end{equation}

\(\\\)

となり、②の式を求められます。

\(\\\)

積和の公式の導出③&④

\begin{equation}
\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha\cos \beta-\sin \alpha\sin \beta ・・・(3)
\end{equation}

\begin{equation}
\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha\cos \beta+\sin \alpha\sin \beta ・・・(4)
\end{equation}

\(\\\)

となりますね。

ではまず③を導出していきます。

\(\\\)

(3)+(4)より

\(\\\)

\begin{equation}
\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=2\cos \alpha\cos \beta
\end{equation}

\(\\\)

を得ることができます。この式を2で割ると

\(\\\)

\begin{equation}
\cos \alpha\cos \beta=\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)\}
\end{equation}

\(\\\)

となり、③の式を求めることができました。

次に④の式を導出します。

(3)ー(4)より

\(\\\)

\begin{equation}
\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)=-2\sin \alpha\sin \beta
\end{equation}

\(\\\)

となりますね。この式を2で割ると

\(\\\)

\begin{equation}
\sin \alpha\sin \beta=-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)\}
\end{equation}

\(\\\)

となります。これで④の式を導出できましたね。

積和の公式を加法定理から導出しました。

この公式を覚えるのは本当に大変なので

自分で導出できるようにしてください。

何回も導出の練習をして慣れてくると10秒程度で導出できるようになりますよ。

【導出】和積の公式

和積の公式

\begin{equation}
❶\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
❷\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
❸\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
❹\cos A+\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}
\end{equation}

この和積の公式も先ほどの積和の公式と同じで覚えるのはかなりつらいですよね。

これも加法定理から導出できますが、積和の公式から導出したほうが楽なので

この記事では積和の公式から和積の公式を導きます。

一緒に和積の公式をマスターしていきましょう。

和積の公式の導出❶

和積の公式❶を導出します。

先程の積和の公式①は

\(\\\)

\begin{equation}
\sin \alpha\cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\}
\end{equation}

\(\\\)

となりますよね。この式において \(\alpha+\beta=A、\alpha-\beta=B\) と置くと

\(\\\)

\begin{equation}
\alpha=\frac{A+B}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
\beta=\frac{A-B}{2}
\end{equation}

\(\\\)

を得ることができます。

ここで積和の公式①に、\(\alpha=\Large\frac{A+B}{2}\)、\(\beta=\Large\frac{A-B}{2}\) を代入し

両辺を2倍すると

\(\\\)

\begin{equation}
\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}
\end{equation}

\(\\\)

となり、和積の公式❶を求めることができます。

\(\\\)

和積の公式の導出❷

和積の公式❷を導出します。

先程の積和の公式②は

\(\\\)

\begin{equation}
\cos \alpha\sin \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)\}
\end{equation}

\(\\\)

となりますよね。この式において \(\alpha+\beta=A、\alpha-\beta=B\) と置くと

\(\\\)

\begin{equation}
\alpha=\frac{A+B}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
\beta=\frac{A-B}{2}
\end{equation}

\(\\\)

を得ることができます。

ここで積和の公式②に、\(\alpha=\Large\frac{A+B}{2}\)、\(\beta=\Large\frac{A-B}{2}\) を代入し

両辺を2倍すると

\(\\\)

\begin{equation}
\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}
\end{equation}

\(\\\)

となり、和積の公式❷を求めることができます。

\(\\\)

和積の公式の導出❸

和積の公式❸を導出します。

先程の積和の公式③は

\(\\\)

\begin{equation}
\cos \alpha\cos \beta=\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)\}
\end{equation}

\(\\\)

となりますよね。この式において \(\alpha+\beta=A、\alpha-\beta=B\) と置くと

\(\\\)

\begin{equation}
\alpha=\frac{A+B}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
\beta=\frac{A-B}{2}
\end{equation}

\(\\\)

を得ることができます。

ここで積和の公式③に、\(\alpha=\Large\frac{A+B}{2}\)、\(\beta=\Large\frac{A-B}{2}\) を代入し

両辺を2倍すると

\(\\\)

\begin{equation}
\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}
\end{equation}

\(\\\)

となり、和積の公式❸を求めることができます。

\(\\\)

和積の公式の導出❹

和積の公式❹を導出します。

先程の積和の公式④は

\(\\\)

\begin{equation}
\sin \alpha\sin \beta=-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)\}
\end{equation}

\(\\\)

となりますよね。この式において \(\alpha+\beta=A、\alpha-\beta=B\) と置くと

\(\\\)

\begin{equation}
\alpha=\frac{A+B}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
\beta=\frac{A-B}{2}
\end{equation}

\(\\\)

を得ることができます。

ここで積和の公式④に、\(\alpha=\Large\frac{A+B}{2}\)、\(\beta=\Large\frac{A-B}{2}\) を代入し

両辺を2倍すると

\(\\\)

\begin{equation}
\cos A+\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}
\end{equation}

\(\\\)

となり、和積の公式❹を求めることができます。

この積和の公式も丸暗記するのはきついですよね。

丸暗記しないためにも和積の公式から導けるようにしておきましょう。

この公式も慣れればすぐに導出できるので

何回も自分で導出してください。

まとめ

今回は加法定理を使って三角関数で出てくる

いろんな公式を導出してみました。

ここでおさらしておきましょう。

おさらい~加法定理で導出できる公式~

  • 半角の公式
  • 2倍角の公式
  • 3倍角の公式
  • 和積の公式
  • 積和の公式
  • 負角・補角・余角の公式

負角・補角・余角の公式は今回は説明していませんが、わかると思います。

特に積和の公式や和積の公式を丸暗記することはきついので

加法定理から導出できるようになっておくと良いですね。

もう1度自分でこの記事で紹介した公式を導出してみてください。

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