二次方程式 数学Ⅰ

二次方程式の判別式の意味と使い方を伝授します

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高校数学の二次方程式の単元を勉強していると「判別式」が出てきますよね。

判別式の使い方はわかってても、どういう意味なのか知っている人は少ないように感じます。

二次方程式の応用問題では必ずと言っていいほど判別式を使いますよね。

つまり、二次方程式で高得点を取るためには、判別式の理解が必須です。

そこで今回は判別式の意味と問題での使い方を説明します。

この記事で判別式の意味と使い方をマスターしましょう。

判別式とは

二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) に関して、

判別式を \(D\) と置くと、

判別式

\begin{equation}
D=b^2-4ac
\end{equation}

で表すことができます。

判別式は名前のとおり「式」であるので、 \(D=b^2-4ac\) の式になっていますね。

では判別式は何のために使うのでしょうか?

結論から言うと、

二次方程式の解の個数を知るためです。

判別式を解くと二次方程式の解の個数がわかります。

その結果、 \(x\) 軸との共有点や実数解の数がわかり、問題が解きやすくなります。

判別式の公式

判別式の公式

判別式を \(D\) とすると、

\(D > 0\) ⇔ 異なる2つの実数解を持つ。

\(D = 0\) ⇔ 1つの実数解を持つ。(重解)

\(D < 0\) ⇔ 実数解を持たない。

これが判別式の公式となります。

1つだけ注意点があります。

\(D < 0\) は「解なし」ではないということです。

実は、\(D < 0\) のとき、虚数解というものが存在します。

これは数学Ⅱの「複素数」の分野で学習するので、今は深入りしないほうがいいでしょう。

あくまで、「実数解がない」ということを覚えておきましょう。

なぜ判別式の公式が、

\(D > 0 \ ,\ D = 0\ ,\ D < 0\) の3つで表せるのかを考えてみましょう。

\(ax^2+bx+c=0\) の方程式の解は、

\(x=-\frac{b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}\) となりますよね。

この解を見ると、なんか見覚えのある形がありませんか?

平方根の中を見てください。

ここに判別式の \(D\) と同じ形がありますよね。

つまり、

\begin{eqnarray}
ax^2+bx+c &=& 0 \\
x &=& -\frac{b\pm{\sqrt{b^2-4ac}}}{2a} \\
&=& -\frac{b\pm{\sqrt{D}}}{2a}
\end{eqnarray}

となりますよね。

よって、 \(x\) の解は判別式 \(D\) によって変わってくることがわかります。

そこで場合分けをしてグラフを描いてみましょう。 (ただし、\(a > 0\) で考えます。)

・ \(D > 0\) のとき

\(x=-\frac{b+\sqrt{D}}{2a}\ ,\ -\frac{b-\sqrt{D}}{2a}\)

と求められ、グラフは下図のようになります。

判別式D>0

このグラフを見ると \(x\) 軸と異なる2点で交わっていますよね。

だから \(D > 0\) では異なる2つの実数解を持ちます。

\(\\\)

・ \(D = 0\) のとき

\(x=-\frac{b}{2a}\) と求めることができ、グラフは下図のようになります。

判別式D=0

このグラフを見ると、 \(x\) 軸とただ1つの点で交わっていますよね。

だから \(D = 0\) では1つの実数解(重解)を持ちます。

\(\\\)

・ \(D < 0\) のとき

\(x=-\frac{b+\sqrt{-D}}{2a}\ ,\ -\frac{b-\sqrt{-D}}{2a}\) となります。

しかし、実数では平方根の中身が負の値になることはありえません。

グラフは下図のようになります。

判別式D<0

このグラフを見ると、 \(x\) 軸と共有点を持たないことがわかりますね。

だから、 \(D < 0\) では実数解がありません。

上記のような理由で3つの \(D > 0\ ,\ D =0\ ,\ D < 0\) の条件で分けられることとなります。

ちなみに、\(D > 0\) と \(D = 0\) の条件を一緒にして、

実数解を持つ条件

\(D \geq 0\) ⇔ 実数解をもつ

というように使われることもよくあります。

まとめるとこんな感じです。

判別式表

この表を覚えるのではなくて自分で1から作れるように理解しましょう。

判別式を用いた例題

判別式を用いた例題を4問用意しています。

最初の3問は簡単ですが、最後の問題は少しだけレベルを上げています。

一緒に解いて判別式をマスターしましょう。

判別式を用いた例題

以下の方程式の解の個数を求めなさい。

1: \(x^2+3x-1=0\)

2: \(x^2-6x+9=0\)

3: \(2x^2-4x+5=0\)

4: \((a-1)x^2+2ax+(a+2)=0\)

判別式を用いて計算してみてください。

頭でやるより実際に手で動かした方がいいですよ。

解説

以下の問題において、判別式を \(D\) とする。

1: \(x^2+3x-1=0\)

\(D=3^2-4\times1\times(-1)=13 >0\) となるので解は2個である。

グラフは下図のようになります。

例題1

\(x\) 軸との共有点が2個あることがわかりますね。

\(\\\)

2: \(x^2-6x+9=0\)

\(D=(-6)^2-4\times9=0\) となるので解は1個(重解)である。

グラフは下図のようになります。

例題2

\(x\) 軸との共有点が1個だけだとわかりますね。

\(\\\)

3: \(2x^2-4x+5=0\)

\(\frac{D}{4}=4-10=-6 < 0\) となるので解は0個である。

グラフは下図のようになります。

例題3

\(x\) 軸との共有点がないことがわかりますね。

\(\\\)

ここでポイントがあります。

3番の問題では、 \(\frac{D}{4}\) という形を使いました。

なぜこのようにしたのかを説明します。

\(ax^2+2bx+c=0\) という二次方程式で判別式を使うとき、

\(x\) の項の係数 \(2b\) を2乗しますよね。→ \(4b^2\)

つまり、\(x\) の項の係数が偶数であれば必ず4で割ることができます。

また、\(x\) の項の係数を2乗したあと \(4ac\) を計算するので、ここでも4が出てきます。

よって、この方程式では、

\(D=4b^2-4ac\) となり、全体を4で割ることができるので \(\frac{D}{4}\) としているのです。

要するに \(x\) の項の係数が偶数であれば、 \(\frac{D}{4}\) を使うと計算が楽になります。

計算が楽になると計算ミスも減るので、\(\frac{D}{4}\) はどんどん使っていきましょう。

4: \((a-1)x^2+2ax+(a+2)=0\)

\begin{eqnarray}
\frac{D}{4} &=& a^2-(a-1)(a+2) \\
&=& a^2-(a^2+a-2) \\
&=& -a+2
\end{eqnarray}

\(\\\)

(ⅰ) \(D > 0\) のとき

\(D > 0\) のとき、すなわち、\(a < 0\) のとき、実数解は2個である。

\(\\\)

(ⅱ) \(D = 0\) のとき

\(D = 0\) のとき、すなわち、 \(a=2\) のとき、実数解は1個である。

\(\\\)

(ⅲ) \(D < 0\) のとき

\(D < 0\) のとき、すなわち、 \(a > 2\) のとき、実数解はなし。

\(\\\)

よって、

\[
\begin{cases}
2 個 &(a < 2) \\
1 個 &(a=2) \\
0 個 &(a > 2)
\end{cases}
\]

となります。

まとめ

今回は判別式の意味と使い方を解説しました。

説明した内容をまとめると、

判別式のおさらい

・判別式は解の個数を求めるために存在する。

・ \(D > 0\) のとき実数解は2個

・ \(D = 0\) のとき実数解は1個(重解)

・\(D < 0\) のとき実数解はなし。

・ \(D \geq 0\) ⇔ 実数解を持つ。

・ \(ax^2+bx+c=0\) において \(x\)の項の係数が偶数の場合、 \(\frac{D}{4}\) を使うと楽。

二次方程式の応用問題を解くためには判別式の理解が必須です。

判別式を理解し、使いこなすことができれば応用問題も解けるようになり、

二次方程式の分野では高得点を狙えるようになります。

もう一度読み直して判別式をマスターしましょう。

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