三角関数 数学Ⅱ

三角関数の合成と不等式を伝授します

高校数学2で学習する「三角関数」ではさまざまな公式が出てきます。

三角比や半角や2倍角、加法定理、合成など・・・

でも加法定理さえ覚えておけばほとんどの公式を導出できます。

三角関数の合成も加法定理とつながりがあります。

また三角関数の合成は方程式や不等式を解いたりするときに使うので

非常に大事な公式となってきます。

そこで今回は三角関数の公式と方程式・不等式ついて解説していきます。

三角関数で得点アップさせるには、合成と不等式の理解が必須となってくるので

一緒にマスターしていきましょう。

三角関数の合成

三角関数 sin の合成

\begin{equation}
a\sin \theta+b\cos \theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta+\alpha)
\end{equation}

\(\\\)

ただし

\begin{equation}
\sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

\begin{equation}
\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

を満たす。

三角関数 cos の合成

\begin{equation}
a\sin \theta+b\cos \theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos (\theta-\beta)
\end{equation}

\(\\\)

ただし

\begin{equation}
\sin \beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

\begin{equation}
\cos \beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

を満たす。

上に書いたように三角関数の合成には \(\sin \) 合成と \(\cos \) 合成があります。

基本的には \(\sin \) 合成を使うことがほとんどですが

たまに \(\cos \) 合成の方が楽なときもあるので

両方とも見ておいてください。

では簡単に導出方法を説明します。

三角関数 sin 合成の導出

\begin{equation}
a\sin \theta+b\cos \theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta+\alpha)
\end{equation}

を導出していきます。

\(\\\)

\begin{equation}
a\sin \theta+b\cos \theta=\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin \theta+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos \theta)
\end{equation}

と変形できますね。

ここで

\(\\\)

\begin{equation}
\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

\begin{equation}
\sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

\(\\\)

と置きます。イメージとしては下図のような感じです。

置き換えなおした式を見てみると

\(\\\)

\begin{eqnarray}
a\sin \theta+b\cos \theta &=& \sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin \theta+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos \theta) \\
&=& \sqrt{a^2+b^2}(\sin \theta\cos \alpha+\cos \theta\sin \alpha)
\end{eqnarray}

\(\\\)

となりますね。この式の( )の中身に見覚えありませんか?

そうです。この( )の中は加法定理になっていますよね。

つまり、この式に加法定理の逆の作業をしてあげると

\(\\\)

\begin{eqnarray}
a\sin \theta+b\cos \theta &=& \sqrt{a^2+b^2}(\sin \theta\cos \alpha+\cos \theta\sin \alpha) \\
&=& \sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta+\alpha)
\end{eqnarray}

\(\\\)

を得ることができます。

ですが、\(\cos \alpha\)、\(\sin alpha\) は置き換えているだけなので

\(\\\)

\begin{equation}
\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

\begin{equation}
\sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

\(\\\)

という条件が付きます。

三角関数 cos 合成の導出

\begin{equation}
a\sin \theta+b\cos \theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos (\theta-\beta)
\end{equation}

を導出していきます。

\(\cos \) 合成の方も \(\sin \) 合成と全く同じ考え方でできます。

\(\\\)

\begin{eqnarray}
a\sin \theta+b\cos \theta &=& b\cos \theta+a\sin \theta \\
&=& \sqrt{a^2+b^2}(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos \theta+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin \theta)
\end{eqnarray}

と変形できますね。

ここで

\(\\\)

\begin{equation}
\cos \beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

\begin{equation}
\sin \beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

\(\\\)

と置きます。イメージとしては下図のような感じです。

置き換えなおした式を見てみると

\(\\\)

\begin{eqnarray}
b\cos \theta+a\sin \theta &=& \sqrt{a^2+b^2}(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos \theta+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin \theta) \\
&=& \sqrt{a^2+b^2}(\cos \theta\cos \beta+\sin \theta\sin \beta)
\end{eqnarray}

\(\\\)

となりますね。この式の( )の中身にも見覚えありますよね。

そうです。この( )の中は加法定理になっています。

つまり、この式に加法定理の逆の作業をしてあげると

\(\\\)

\begin{eqnarray}
b\cos \theta+a\sin \theta &=& \sqrt{a^2+b^2}(\cos \theta\cos \beta+\sin \theta\sin \beta) \\
&=& \sqrt{a^2+b^2}\cos (\theta-\beta)
\end{eqnarray}

\(\\\)

を得ることができます。

ですが、\(\cos \beta\)、\(\sin \beta\) は置き換えているだけなので

\(\\\)

\begin{equation}
\cos \beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

\begin{equation}
\sin \beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}

\(\\\)

という条件が付きます。

どうでしょう?

1つ1つ丁寧に考えていけば三角関数の合成の公式も簡単に思えてきますよね。

結局は加法定理が大事ということもわかりました。

三角関数の合成~ポイント~

三角関数の合成は『加法定理の逆』

また、例題として1問用意しています。

簡単なのでぜひ解いてみてください。

【例題】三角関数の合成

【例題】三角関数の合成

\(\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta\) を \(\sin \) 合成、\(\cos \) 合成せよ。

この問題は先程説明した通りのやり方で計算していけば良いだけですね。

すぐ終わらせちゃいましょう。

では解説していきます。

解説 sin 合成

問題: \(\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta\) を \(\sin \) 合成、\(\cos \) 合成せよ。

\(\\\)

まずは \(\sin \) 合成から計算していきましょう。

\(\\\)

\begin{eqnarray}
\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta &=& \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}}\sin \theta+\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}}\cos \theta) \\
&=& 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta+\frac{1}{2}\cos \theta)
\end{eqnarray}

\(\\\)

ここで

\(\\\)

\begin{equation}
\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
\sin \alpha=\frac{1}{2}
\end{equation}

\(\\\)

と置きます。

これより \(\alpha\) を求めると

\(\\\)

\begin{equation}
\alpha=\frac{\pi}{6}
\end{equation}

\(\\\)

が得られますね。

以上より、求める答えは

\(\\\)

\begin{equation}
2\sin (\theta+\frac{\pi}{6})
\end{equation}

\(\\\)

となります。

解説 cos 合成

次に \(\cos \) 合成を計算していきましょう。

\(\\\)

\begin{eqnarray}
\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta &=& cos \theta+\sqrt{3}\sin \theta \\
&=& \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}(\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}}\cos \theta+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}}\sin \theta) \\
&=& 2(\frac{1}{2}\cos \theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta)
\end{eqnarray}

\(\\\)

ここで

\(\\\)

\begin{equation}
\cos \beta=\frac{1}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
\sin \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{equation}

\(\\\)

と置きます。

これより \(\beta\) を求めると

\(\\\)

\begin{equation}
\beta=\frac{\pi}{3}
\end{equation}

\(\\\)

が得られますね。

以上より、求める答えは

\(\\\)

\begin{equation}
2\cos (\theta-\frac{\pi}{6})
\end{equation}

\(\\\)

となります。

どうでしょうか?

やっていることは「加法定理の逆」だけです。

公式を覚えるというより計算過程を覚えるとより理解が深まると思うので

解けなかった人はもう1度解いてみましょう。

三角関数の方程式と不等式

三角関数の単元で高得点と取るためには

三角関数の方程式と不等式を解けるようにならなければいけません。

そこで、三角関数の方程式や不等式を解くためのポイントを伝授します。

このポイント通りに解いていけば絶対に点は上がります。

理解して使いこなせるまで演習しましょう。

ポイント

  • 範囲を確認する
  • 単位円を描く
  • 範囲や条件をもとに図に描き込む
  • 描いた図を見ながら判断

このポイントさえおさえておけば絶対に解けるようになります。

実際の例題をもとにマスターさせていきましょう。

例題は3問用意しているので挑戦してみてください。

例題 三角関数の方程式・不等式

\begin{equation}
問1: \sin (\theta+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2} \ \ \ \ \ (0 \leq \theta < 2\pi) \ \ \ \ を解け
\end{equation}

\begin{equation}
問2: \cos (2\theta-\frac{\pi}{4})\geq\frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \ \ \ (0 \leq \theta < 2\pi) \ \ \ \ を解け
\end{equation}

\begin{equation}
問3: \tan (\theta-\frac{\pi}{3})\leq\sqrt{3} \ \ \ \ \ (0 \leq \theta < 2\pi) \ \ \ \ を解け
\end{equation}

どれも基本的な計算問題となっています。

「基礎」こそ大事なので一緒に基礎をマスターさせましょう。

では解説していきます。

解説 問1

\begin{equation}
問1: \sin (\theta+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2} \ \ \ \ \ (0 \leq \theta < 2\pi) \ \ \ \ を解け
\end{equation}

\(\\\)

まずは範囲を確認しましょう。

問題の範囲の \(0 \leq \theta < 2\pi\) より

\(\\\)

\begin{equation}
0+\frac{\pi}{3} \leq \theta+\frac{\pi}{3} < 2\pi+\frac{\pi}{3}
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ \frac{\pi}{3} \leq \theta+\frac{\pi}{3} < \frac{7}{3}\pi
\end{equation}

\(\\\)

となりますね。

これをもとに単位円の図を描くと下図のようになります。

先程求めた範囲より

スタート点は \(\Large\frac{\pi}{3}\) となっていますね。

ここから一周して同じ場所に戻ってきます。

つまり、 \(\Large\frac{\pi}{6}\) は範囲外になります。

よって、図より

\(\\\)

\begin{equation}
\theta+\frac{\pi}{3}=\frac{5}{6}\pi\ \ \ , \ \ \ \frac{13}{6}\pi
\end{equation}

\(\\\)

となります。ゆえに

\begin{eqnarray}
\theta &=& \frac{5}{6}\pi-\frac{\pi}{3}\ \ \ , \ \ \ \frac{13}{6}\pi-\frac{\pi}{3} \\
&=& \frac{\pi}{2}\ \ \ , \ \ \ \frac{11}{6}\pi
\end{eqnarray}

\(\\\)

と求められます。

解説 問2

\begin{equation}
問2: \cos (2\theta-\frac{\pi}{4})\geq\frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \ \ \ (0 \leq \theta < 2\pi) \ \ \ \ を解け
\end{equation}

\(\\\)

まずは範囲を確認しましょう。

問題の範囲の \(0 \leq \theta < 2\pi\) より

\(\\\)

\begin{equation}
0\times2 \leq 2\theta < 2\pi\times2
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ 0-\frac{\pi}{4} \leq 2\theta-\frac{\pi}{4} < 2\pi-\frac{\pi}{4}
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ -\frac{\pi}{4} \leq 2\theta-\frac{\pi}{4} < \frac{15}{4}\pi
\end{equation}

\(\\\)

となりますね。

これをもとに単位円の図を描くと下図のようになります。

先程求めた範囲より

スタート点は \(-\Large\frac{\pi}{4}\) となっていますね。

範囲を見るとわかりますが

ここから2周して同じ場所に戻ってきます。

また問題の条件を満たすのは赤線の部分ですよね。

よって、図より

\(\\\)

\begin{equation}
-\frac{\pi}{6} \leq 2\theta-\frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{6} ・・・①
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{7}{6}\pi \leq 2\theta-\frac{\pi}{4} \leq \frac{13}{6}\pi ・・・②
\end{equation}

\(\\\)

となりますね。これらを解くと答えが求まります。

①を解くと

\(\\\)

\begin{equation}
-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4} \leq 2\theta \leq \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ -\frac{\pi}{24} \leq \theta \leq \frac{5}{24}\pi
\end{equation}

\(\\\)

②を解くと

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{7}{6}\pi+\frac{\pi}{4} \leq 2\theta \leq \frac{13}{6}\pi+\frac{\pi}{4}
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ \frac{17}{24}\pi \leq \theta \leq \frac{29}{24}\pi
\end{equation}

\(\\\)

を求めることができます。

以上のように答えは2つになります。

解説 問3

\begin{equation}
問3: \tan (\theta-\frac{\pi}{3})\leq\sqrt{3} \ \ \ \ \ (0 \leq \theta < 2\pi) \ \ \ \ を解け
\end{equation}

\(\\\)

まずは範囲を確認しましょう。

問題の範囲の \(0 \leq \theta < 2\pi\) より

\(\\\)

\begin{equation}
0-\frac{\pi}{3} \leq \theta-\frac{\pi}{3} < 2\pi-\frac{\pi}{3}
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ -\frac{\pi}{3} \leq \theta-\frac{\pi}{3} < \frac{5}{3}\pi
\end{equation}

\(\\\)

となりますね。

これをもとに単位円の図を描くと下図のようになります。

先程求めた範囲より

スタート点は \(-\Large\frac{\pi}{3}\) となっていますね。

ここから一周して同じ場所に戻ってきます。

ここで \(\tan \) は傾きを表しているので、問題の条件を満たすには赤線の部分となりますね。

また、

\begin{equation}
\tan \frac{\pi}{2} \ \ \ , \ \ \ \tan \frac{3}{2}\pi
\end{equation}

の値は存在しないので \(\Large\frac{\pi}{2}\) と \(\Large\frac{3}{2}\normalsize\pi\) は含みません。

つまり、求める範囲は3つありますね。

よって、図より

\(\\\)

\begin{equation}
-\frac{\pi}{3} \leq \theta-\frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{3} ・・・①
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\pi}{2} < \theta-\frac{\pi}{3} \leq \frac{4}{3}\pi ・・・②
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{3}{2}\pi < \theta-\frac{\pi}{3} < \frac{5}{3}\pi ・・・③
\end{equation}

\(\\\)

となりますね。これらを解くと答えが求まります。

①を解くと

\(\\\)

\begin{equation}
-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ 0 \leq \theta \leq \frac{2}{3}\pi
\end{equation}

\(\\\)

②を解くと

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3} < \theta \leq \frac{4}{3}\pi+\frac{\pi}{3}
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ \frac{5}{6}\pi < \theta \leq \frac{5}{3}\pi
\end{equation}

\(\\\)

③を解くと

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{3}{2}\pi+\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5}{3}\pi+\frac{\pi}{3}
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ \frac{11}{6}\pi < \theta < 2\pi
\end{equation}

\(\\\)

を求めることができます。

以上のように答えは3つになります。

どうでしたか?

基本的に計算は

  • 範囲を確認
  • 単位円を描く
  • 範囲や条件をもとに単位円に描き込む
  • 図から判断

しかしていません。

この解法を理解していれば三角関数の方程式や不等式で困ることはありません。

解けなかった人はもう1度やってみましょう。

まとめ

本記事では三角関数の合成と方程式・不等式について解説しました。

公式を覚えるのではなく理解することが大事です。

おさらいしておきます。

おさらい

  • 合成は加法定理の逆
  • 方程式や不等式は単位円に描き込む
  • 範囲や条件に注意する

できるだけ公式を覚えずに解法を理解してください。

そうすることで数学的センスを身に付けることができます。

また三角関数で高得点を取るためには

三角関数の方程式や不等式はマスターしないといけないので

まだ理解できていない人はもう1度読み直しましょう。

三角関数の基礎の基礎向け

【無料】オリジナルテキストをプレゼントします

僕は受験生の時、D判定から逆転合格し、最終的に数学の偏差値を65まで伸ばしました。

 

しかし、これはもともと数学が得意だったわけではなく、ある勉強方法を意識しながら、ただ単に勉強したからです。

 

僕が行った勉強方法をオリジナルテキストにまとめました。

この勉強方法は、誰でも簡単に実践できますし、塾の生徒にも同じやり方で指導しています。

また、この勉強方法をマスターすれば応用問題を解く力が自然と身に付きます。

無料で配布中です!

➤➤ 詳しくはこちらをクリック

-三角関数, 数学Ⅱ
-, , , ,

Copyright© 大学受験数学パス , 2021 All Rights Reserved Powered by AFFINGER5.