三角比 数学Ⅰ

【超簡単】三角比の基礎と正弦定理を伝授します

高校数学Ⅰの「三角比」あたりからつまずく人って結構いるんですよね。

塾講師をしていてそう感じます。

やはりみんな「イメージしにくいから」だそうです。

確かにいきなり

\(\sin \ ,\ \cos \ ,\ \tan \) が出てきたら頭の中は「???」になりますよね。

でも安心してください。

この記事では三角比の基礎と覚えるべきポイントについても説明します。

三角比は超簡単なので苦手意識を持たないようにしましょう。

この記事でわかること

  • \(\sin \ ,\ \cos \ ,\ \tan \) の意味
  • 三角比で覚えるべきポイント
  • 正弦定理

じっくり読めばわかることなので一緒に頑張っていきましょう。

sin , cos , tan とは?

sin , cos , tan

\begin{equation}
\sin \theta=\frac{y}{r}=\frac{縦}{斜辺}
\end{equation}

\begin{equation}
\cos \theta=\frac{x}{r}=\frac{横}{斜辺}
\end{equation}

\begin{equation}
\cos \theta=\frac{y}{x}=\frac{縦}{横}=傾き
\end{equation}

これが全てです。

「縦」、「横」、「斜辺」は辺の長さですよね。

つまり、 \(\sin \ ,\ \cos \ ,\ \tan \) は辺の長さの比を表しています。

辺の長さの比を角度を使って言い換えているだけですね。

これさえわかれば \(\sin \ ,\ \cos \ ,\ \tan \) もイメージしやすくなります。

もう少し詳しく書いている記事があるので、まだ納得できない人はぜひこちらも見てください。

あわせて読みたい

三角比で覚えるべきポイント

三角比ではいろんな公式が出てきますが、基礎の基礎として絶対に覚えておくべきポイントを教えます。

覚えるべきポイント①

下図の表を覚える

この表は絶対に覚えてください。

この表の中に書かれてある値を即答できないと三角比で点を取ることは厳しいです。

丸暗記でもいいので絶対に覚えてください。

\(\\\)

覚えるべきポイント②

\begin{equation}
\tan \theta=\frac{\sin\theta}{\cos \theta}
\end{equation}

\begin{equation}
\sin ^2\theta+\cos ^2\theta=1
\end{equation}

\begin{equation}
1+\tan ^2\theta=\frac{1}{\cos ^2\theta}
\end{equation}

\begin{equation}
1+\frac{1}{\tan ^2\theta}=\frac{1}{\sin ^2\theta}
\end{equation}

この4つの公式も絶対に覚えてください。

最後の公式はあまり出ませんが、少なくとも上の3つはよく出ます。

すぐに思い出せないと意味がありません。

絶対に覚えてください。

この公式の導出方法が知りたい人はこちらの記事で確認してくださいね。

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\(\\\)

覚えるべきポイント③

  • 余角の公式

\begin{equation}
\sin (90°-\theta)=\cos \theta
\end{equation}

\begin{equation}
\cos (90°-\theta)=\sin \theta
\end{equation}

\begin{equation}
\tan (90°-\theta)=\frac{1}{\tan \theta}
\end{equation}

  • 補角の公式

\begin{equation}
\sin (180°-\theta)=\sin \theta
\end{equation}

\begin{equation}
\cos (180°-\theta)=-\cos \theta
\end{equation}

\begin{equation}
\tan (180°-\theta)=-\tan \theta
\end{equation}

この余角の公式とは補角の公式は絶対に覚える必要はありませんが、すぐに思い出せるようにしておきましょう。

よく式変形で使うからです。

覚えたくない人は、自分で導出できるようにしておきましょう。

実際、私も覚えていませんが、すぐに導出できます。

導出方法は、こちらの記事でチェックしてみてください。

あわせて読みたい

\(\\\)

正弦定理の公式

正弦定理の公式

\begin{equation}
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
\end{equation}

この公式は丸暗記しましょう。

どうしても覚えらない人のために覚え方を伝授します。

正弦定理の覚え方

\begin{equation}
\Large\frac{対辺}{サイン}=直径
\end{equation}

これを何回も唱えてください。

もちろん、覚えずに問題を解くたびに導出してもいいですが、時間短縮のため覚えてしまいましょう。

正弦定理の公式は何を表しているかわかりますか?

この公式は

角と辺を外接円の半径に変換

しています。

また、正弦定理の公式を式変形させると

正弦定理の式変形

\begin{equation}
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ a=2R\sin A \ ,\ b=2R\cos B \ ,\ c=2R\tan C
\end{equation}

\(\\\)

となりますよね。

これより

\(\\\)

\begin{equation}
a : b : c =\sin A : \sin B : \sin C
\end{equation}

\(\\\)

を得ることができます。

この式変形より

3つの辺の比が \(\sin \) の値の比に等しい 

ことがわかります。

つまり、正弦定理を使用するときは使う場面が限られています。

ほとんどの場合が下に書いてあるときに使うので、この場面がきたら正弦定理を使うようにしましょう。

正弦定理を使う場面

  • 外接円の半径を知りたいとき
  • 2つの角度と1つの辺の長さがわかっているとき

このときに正弦定理を使うと楽に計算できるので

使い分けをできるようによく問題文を読みましょう。

正弦定理の導出

正弦定理を導出してみましょう。

正弦定理の公式を覚えると導出してもしなくても関係ないですが

考え方が大事なのでぜひ読んでみてください。

正弦定理の導出 前半

\begin{equation}
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} を導出してみましょう。
\end{equation}

\(\\\)

まずは下図のような三角形を考えます。

この上図の三角形より AD の辺の長さを求めます。

△ABDにおいて

\(\\\)

\begin{eqnarray}
AD &=& AB\sin B \\
&=& c\sin B ・・・(1)
\end{eqnarray}

\(\\\)

となりますね。

次に△ACDにおいて

\(\\\)

\begin{eqnarray}
AD &=& \rm {AC}\sin B \\
&=& b\sin C ・・・(2)
\end{eqnarray}

\(\\\)

となりますね。(1)と(2)より

\(\\\)

\begin{equation}
c\sin B=b\sin C
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}
\end{equation}

\(\\\)

が得られます。

\(\\\)

次に下図を見てください。

上図より

△BEAにおいて

\(\\\)

\begin{eqnarray}
BE &=& AB\sin A \\
&=& c\sin A ・・・(3)
\end{eqnarray}

\(\\\)

となりますね。

また△BECにおいて

\(\\\)

\begin{eqnarray}
BE &=& BC\sin C \\
&=& a\sin C ・・・(4)
\end{eqnarray}

\(\\\)

となりますね。(3)と(4)より

\(\\\)

\begin{equation}
c\sin A=a\sin C
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ \frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}
\end{equation}

\(\\\)

が得られます。

以上より

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}
\end{equation}

\(\\\)

を求めることができます。

\(\\\)

正弦定理の導出 後半

正弦定理の導出 後半の部分では

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R を求めていきます。
\end{equation}

\(\\\)

下図のような図を考えます。

まず円周角の公式より

\(\\\)

\begin{equation}
\angle BOC=2\angle BAC
\end{equation}

\(\\\)

となることがわかります。

次に円の中心 O から辺 BCに向かって垂線を下ろし、辺 BC との交点を点 F とします。

また OB=OC=\(R\) より、△BOC は二等辺三角形だとわかりますね。よって

\(\\\)

\begin{eqnarray}
\angle BOF &=& \angle COF \\
&=& \frac{1}{2}\angle BOC \\
&=& \frac{1}{2}\times2\angle BAC \\
&=& \angle BAC ・・・(1)
\end{eqnarray}

\(\\\)

となります。

次に△OBFについて考えてみましょう。

△BOCは二等辺三角形なので

\(\\\)

\begin{equation}
BF=\frac{1}{2}a ・・・(2)
\end{equation}

\(\\\)

で表せます。よって (1)と(2)を用いて

\(\\\)

\begin{equation}
\sin \angle BOF=\frac{\Large\frac{a}{2}}{R}
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ \sin \angle BAC =\frac{a}{2R}
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ \sin A=\frac{a}{2R}
\end{equation}

\(\\\)

と式変形できます。したがって

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{a}{\sin A}=2R
\end{equation}

\(\\\)

を得ることができます。

よって、正弦定理の導出 前半で求めた結果を用いると

\(\\\)

\begin{equation}
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
\end{equation}

\(\\\)

となり、正弦定理を導出することができました。

どうでしたか?

正弦定理を導出する人は実際かなり少ないです。

考え方は大事ですが、毎回導出していると時間がかかるので公式を覚えちゃいましょう。

では正弦定理を使った超簡単な例題を1問解いてみましょう。

正弦定理の例題

例題

下の図において辺の長さ \(c\) と外接円の半径 \(R\) を求めよ。

\(\\\)

この問題は超簡単ですね。基礎の基礎レベルです。

正弦定理を使うだけですよね。

では解説していきます。

解説

正弦定理を使う前にまず \(\angle C\) を求めましょう。

\(\\\)

\begin{eqnarray}
\angle C &=& 180°-(75°+45°) \\
&=& 60°
\end{eqnarray}

\(\\\)

となりますね。

ここで正弦定理を使うと

\begin{equation}
\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}
\end{equation}

\begin{equation}
⇔ \frac{3}{\Large\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{c}{\Large\frac{\sqrt{3}}{2}}
\end{equation}

\(\\\)

となります。これより

\(\\\)

\begin{equation}
c=\frac{3\sqrt{6}}{2}
\end{equation}

\(\\\)

と求めることができます。

次に外接円の半径 \(R\) を求めます。

正弦定理を用いると

\(\\\)

\begin{equation}
2R=\frac{b}{\sin B}
\end{equation}

\begin{eqnarray}
⇔ R &=& \frac{b}{2\sin B} \\
&=& \frac{1}{2}\frac{3}{\Large\frac{1}{\sqrt{2}}} \\
&=& \frac{3\sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray}

\(\\\)

と求めることができます。

正弦定理を使うだけなので簡単ですね。

この問題のように正弦定理は

  • 外接円の半径を求めるとき
  • 2つ以上の角度と1つの辺の長さがわかっているとき

に使うことができます。

使える場合を把握しておこう。

まとめ

今回は三角比の基礎と正弦定理について説明しました。

この記事の重要ポイントおさらいしておきます。

重要ポイント

  • この記事に書いてある公式は覚える
  • 正弦定理を覚える
  • 正弦定理は「角と辺を外接円の半径に変換」する公式
  • 正弦定理は3つの辺の比が \(\sin \) の値の比等しい
  • 正弦定理を使う場面を把握する

とにかく正弦定理の公式は絶対に暗記しましょう。

三角比は基礎ができれば超簡単なので、苦手と感じた人はもう1回じっくり読んでください。

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